הבקע הוא חצי היתר; בין גדול בין קטן. ובקע הקשת הוא (א)חצי יתר כפל הקשת כזה
בקע קשת ב"ג הוא קו ב"ה, שהוא חצי קו ב"ד, שהוא יתר של קשת בג"ד, שהוא כפל קשת ב"ג.
ואם תרצה לידע בקע של קשת -- תמשוך חצי אלכסון מקצה אחד של הקשת עד המרכז, ומקצה האחר של הקשת תמשוך קו על[1] חצי האלכסון על זוית נצבת. ואותו קו הוא הבקע של הקשת. כמו בקשת ב"ג -- תמשוך קו ג"ו ועליו תמשוך קו ב"ה על הזוית נצבת.
ואם הקשת הוא (ב)גדול מרביע העיגול -- תמשוך כל האלכסון מקצה א' על המרכז ומקצה הב' תמשוך הבקע כנ"ל.
כל שהקשת או הזוית יותר גדול -- הבקע גם כן יותר גדול; עד רביע הקשת או זוית נצבת. ומכאן ואילך כל שהקשת יותר גדול -- הבקע יותר קטן. והבקע הגדול מכל הבקעים הוא חצי האלכסון שהוא בקע לרביע הקשת או זוית נצבת. כמו בקע א"ו שהוא בקע קשת א"ג א"ח, וכן לזוית או"ג או"ח. ונקרא כל הבקע.
וחלקו כל הבקע למאה אלפים חלקים וע"י מדדו כל הבקעים של כל הקשתות, כמה חלקים מן המאה אלפים של כל הבקע. ועשו לוח הבקעים לידע הבקע של כל המעלות מהקשתות. אם ידוע לך כמה מעלות הוא מהקשת או הזוית ותרצה לידע כמה חלקים הוא הבקע -- תראה בלוח הבקעים מעלות הקשת ובצדו תמצא חלקי הבקע. וכן אם תדע חלקי הבקע ותרצה לידע מעלות הקשת או הזוית -- תראה בלוח את חלקי הבקע ובצדו תמצא את מעלות הקשת או הזוית. ואם לא תמצא מעלות הקשת או חלקי הבקע בלוח --תראה(ג) החלקים שפחות ממנו והיותר ממנו, והחלקים שבין הפחות והיותר תעריך על החלקים המיותרים על בקע הפחותים החלקים של מעלות הקשת שבין הפחות והיותר.
שני רבועים של הבקע ותשלום-הבקע -- שוה לרבוע כל הבקע.
והמופת על זה: רבוע קו ב"ו (ו)(שהוא כל הבקע) שוה לרבוע קו ב"ז ורבוע קו ז"ו, כמ"ש בסימן ע"ה, וקו ז"ו שוה לקו ב"ה שהוא בקע ב"ג, (ז)כמ"ש בסימן הקודם, וקו ב"ז הוא תשלום הבקע ב"ה.
מרובע שוה-הצלעות, אם תעשה בתוכו ב' אלכסונים להיות נחתכין חד(?) נעשין בתוכו ד' משולשין, כל משולש הוא נצב הזוית כזה
זוית אט"ב הוא נצב כי קו א"ב א"ג (וכן (פ)קוי ב"ט ג"ט) שוין. וקו א"ט הוא משותף לב' המשולשים אט"ב אט"ג. אם כן גם הזויות אט"ב אט"ג שוין והם (צ)יחד ק"פ מעלות. אם כן כל אחד נצב. וכן זויות בט"ד גט"ד.
ג) הג', אם יש במשולש זוית יותר גדול מזו הזוית -- על כרחך היא צרה. (ר)ומכל שכן שאם זוית הגדולה היא רחבה על כרחך היא צרה כנ"ל. ואם היא צרה כל שכן שהזוית הקטנה היא צרה.
ה) הה', אם בקע הזוית המבוקש הוא שוה לבקע זוית האחרות על כרחך שניהם הן צרות. כי שתיהן רחבות אי אפשר כנ"ל, ואחד רחבה והשניה רחבה אי אפשר כי אז א' (ש)שארית לחברתה וכל זויות המשולש אין מחזיקין רק ק"פ מעלות כמ"ש בסימן ס"ג.
ו) הו', אם בקע זוית אחרות הוא גדול מבקע זוית זו אז על כרחך היא צרה כזה
[שבקע](ת) זוית בא"ד הוא גדול [מבקע] זוית אב"ד, זוית אב"ד על כרחך היא צרה ממה נפשך --
אם זוית בא"ד היא רחבה -- על כרחך זוית אב"ד היא צרה.
ואם זוית בא"ד היא צרה -- על כרחך גם זוית אב"ד צרה, שאם היא רחבה על כרחך שאריתה (שהיא זוית דב"ג) צרה, ועל כרחך (א*)היא קטנה מזוית בא"ד, אם כן זוית אב"ד בא"ד הן יותר מק"פ מעלות. וזה אי אפשר כנ"ל.
ז) הז', אם שני בקעי הזוית האחרות הן כ"א (ב*)גדול מבקע תשלום חברו -- על כרחך היא צרה מאחר ששני זויות האחרות הן מחזיקין יותר ע"כ מצ' מעלות כנ"ל בסימן ק"ב.
ח) הח', אם הצלע שכנגד הזוית המבוקש (ג*)היא שוה-שוקיים -- על כרחך היא צרה. כי (ד*)כבר נתבאר כי משולש שוה-שוקיים הוא גם כן שוה-זוית, וכל שכן אם משולש הוא שוה הצלעות שכל זויותיהן צרות.
ט) הט', אם צלע א' גדול מצלע שכנגד הזוית המבוקש על כרחך היא צרה כי כערכי הצלעות (ה*)כך ערך בקעי הזויות וע"כ בקע הזוית שכנגד הצלע הגדול היא גדולה מבקע הזוית המבוקש וע"כ היא צרה כמ"ש בסימן ק"ד.
י) הי', אם רבוע של כל אחד משני הצלעות הן מחזיקין ביחד יותר מרבוע של הצלע שכנגד הזוית המבוקש -- על כרחך הוא צרה. כי כל הזוית היותר גדולה -- הצלע שכנגד הזוית גם כן יותר גדול. ונתבאר בסימן ע"ה משולש נצב הזוית, מרובע-צלע שכנגד הנצב מחזיק כמו מרובע הנצב והשוכב. אם כן במשולש מרווחת על כרחך צלע שכנגד הרחבה מחזיק יותר ממרובע שני צלעות האחרות.
או באופן אחר שתעריך כערך צלע א"ג אל כל הבקע כן ערך צלע א"ב שהוא נצב אל הזוית אג"ב (י*),וזוית בא"ג הוא תשלום זוית אג"ב. ואחר כך תעריך כערך כל הבקע אל צלע א"ג כן זוית בא"ג אל צלע ב"ג שהוא השוכב.
ואם ידוע (כ*)זוית אחת -- הנה אין צריך לחקור על זוית השלישי כי הוא תשלום לו.
ואם ידוע עמוד הנצב -- תעריך (ל*)כערך זוית בג"א אל צלע א"ב כן זויות הנשארות אל הצלעות שכנגדן. או תעריך (מ*)צלע אחד והצלע השנית תדע על ידי רבוע שני הצלעות כנ"ל.
וכן אם ידוע זוית והשוכב או האלכסון -- תעשה גם כן כמו עם הנצב.
(נ*)אם צלע השוכב ידוע, והנצב עם האלכסון אם תחברם יחד גם כן ידוע רק כל אחד לבדו אינו ידוע -- תרבע השוכב, ותחלק על חבור של האלכסון עם הנצב, והנשאר תגרע מן חבור האלכסון-עם-הנצב. וחצי הנשאר הוא הנצב, והמותר הוא האלכסון.
דרך משל, שהשוכב הוא ארבעה והאלכסון עם הנצב יחד הן שמנה -- תרבע ד' פעמים ד', הוא ט"ז. תחלקם על שמנה, הוא שנים. תגרע שנים משמנה, הוא ששה. החצי מזה הוא שלושה. הוא הנצב. אם כן האלכסון הוא חמשה.
והנסיון על זה: תרבע השוכב וכן הנצב -- השטח משני המרובעים יחד הוא כ"ה. וכן מהאלכסון לבד הוא גם כן כ"ה.
והמופת על זה: כי מבואר (ס*)בחכמת המספר שאם (ע*)תגרע צלע קטן מצלע גדול והנשאר תרבע -- השטח שוה כרבוע-צלע-הגדול ורבוע-צלע-הקטן פחות משני פעמים כפל צלע הקטן בצלע הגדול.
דרך משל, חמשה-פחות-שנים פעם חמשה-פחות-שנים[3] הם תשעה. ואם תרבע הה' וגם הב' -- הוא כ"ט. חסר חמשה פעמים ארבעה (שהוא עשרים), תגרע מן כ"ט, נשאר תשעה.
ואם (ק*)תוסיף מרובע חטי"כ על מרובע אגז"ט, (ר*)ותסיר מהם מרובע אגד"ו (שהוא כפל הצלעות, צלע הקטן בגדול), וכן תסיר מרובע היו"כ (שהוא גם כן כפל צלע הקטן בגדול) -- נשאר מרובע דהז"ח.
ולפי זה מחזיק האלכסון במשל הנ"ל (ש*)שמנה פעמים שמנה (ת*)ומרובע הנצב פחות ב"פ כפילות שמנה עם הנצב שהוא פחות (*א)ט"ז נצבים. וכבר נרשם (*ב)בסימן קי"א שאם תחסר מרובע הנצב ממרובע האלכסון נשאר מרובע השוכב.
ולפי זה שאם תסור כאן מרובע הנצב -- נשאר ח' פעמים ח' פחות ט"ז נצבים שוה למרובע השוכב.
(*ג)תוסיף עליהם ט"ז נצבים -- נשאר חפ"ח(?) שוה למרובע השוכב עם ט"ז נצבים כמ"ש סימן מ"ו.
תגרע מרובע השוכב (שהוא ט"ז) מן חפ"ח -- נשאר מ"ח.
תחלקם על ט"ז נצבים. אם כן צלע הנצב הוא שלשה.
והיוצא מזה שאם תרצה לידע הנצב (*ד)תרבע הצלע החבור ותגרע ממנו רבוע השוכב ותחלק על צלע החבור והחצי מהנשאר הוא צלע הנצב.
ולקצר החשבון אין צריך לרבע הצלע החבור בתחלה (*ה)אלא תחלק בתחלה רביע השוכב עם צלע החבור והנשאר תגרע מן צלע החבור, כמבואר בחכמת המספר, והחצי מהנשאר הוא הנצב:(*ו)
אופן הראשון -- אם אחד מן השוקיים (דרך משל צלע א"ב) וצלע הג' (כגון צלע ב"ד) ידועים. תמשוך בתוכו עמוד נצב, קו א"ג. צלע א"ב ידוע. וכן צלע ב"ג שהוא חצי מצלע ב"ד. וזוית אג"ב הוא נצב. אם כן גם הנשארים, דהיינו שאר כמותים ממשולש אג"ב, ידועים כמ"ש בסימן קי"ז. וכן ממשולש אג"ד כי קו א"ב א"ד וכן קוי ב"ג ג"ד שוין.
אופן החמישי -- שצלע ב"ד וזוית בא"ד ידועים. הנה זוית בא"ג הוא חצי זוית בא"ד. וצלע ב"ג הוא חצי צלע ב"ד. וזוית אג"ב ידוע. אם כן גם שאר כמותים ידועים כנ"ל.
אופן הראשון, הוא אם ב' הזויות וצלע שביניהם ידוע -- תמשוך עמוד נצב מזוית אחד מן הידועים על הצלע שכנגדו כזה
שזוית אב"ג ובא"ג וצלע א"ב ידועים. תמשוך עמוד א"ד. הנה במשולש אד"ב, זוית אב"ד אד"ב וצלע א"ב ידועים, גם שאר כמוים ידועים ואם כן צלע א"ד ידוע. תוציא זוית בא"ד מזוית בא"ג הנשאר הוא זוית דא"ג וזויות אד"ג ידוע. הנה גם שאר כמותים ממשולש אד"ג ידועים. תחבר יחד צלע ב"ד וצלע ד"ג -- יצא צלע ב"ג. (*י)וכן תחבר זוית בא"ד גא"ד -- יצא זוית בא"ג. זה אם העמוד נופל בתוך המשולש.
שזויות אב"ג בא"ג וצלע א"ב ידועים -- הנה במשולש אד"ב זוית אב"ד אד"ב וצלע א"ב ידועים, אם כן גם שאר כמותים ידועים. אם כן צלע א"ד ידוע. וזוית בא"ד ידוע. תוציא זוית בא"ג מזוית בא"ד -- נשאר זוית גא"ד וזוית אד"ג ידועים. אם כן גם שאר כמותים ממשולש אד"ג ידועים. תוציא צלע ג"ד מצלע ב"ד. הנשאר הוא צלע ב"ג וזוית אג"ב הוא שארית מזוית אג"ד וצלע (*כ)א"ג הוא ידוע.
אופן השני אם שני זויות וא' מצלעות שכנגדן ידוע -- תמשוך עמוד נצב מזוית הג' שאינו ידוע על הצלע שכנגדו כזה
שזוית אב"ג אג"ב וצלע א"ב ידועים. תמשוך עמוד א"ד. במשולש אד"ב ב' זוית אב"ד אד"ב ידועים. וצלע א"ב גם כן ידוע. גם שאר כמותים ידועים. ואחר כך גם במשולש אד"ג זוית אד"ג אג"ד וצלע א"ד ידועים. אם כן גם שאר כמותים ידועים. תחבר יחד הזויות והצלעות כנ"ל.
תמשוך גם כן מזוית שאינו ידוע כזה. זוית אב"ג אג"ב וצלע א"ב ידועים. במשולש אד"ב גם כן ידועים זוית אד"ב אב"ד וצלע א"ב. אם כן גם שאר כמותים ידועים. ואחר כך תחשוב במשולש אג"ד ותעשה כנ"ל באופן הא' בעמוד שנופל חוץ להמשולש. ולידע צלע א"ג אין צריך לכל זה כי (*ל)כערך זוית אג"ב אל צלע א"ב כן ערך בקע זוית אב"ג אל צלע א"ג.
שהצלעות א"ב ב"ג וזוית אב"ג ידועים. במשולש אד"ב -- זוית אד"ב אב"ד וצלע א"ב ידועים. אם כן גם שארי כמותים ידועים. תוציא צלע ב"ג מצלע ב"ד -- נשאר צלע ג"ד. ואחר זה במשולש אג"ד -- שני צלעות א"ד ג"ד וזוית אד"ג ידועים. גם השאר ידועים (*מ)תעשה כנ"ל.
אופן הרביעי שב' צלעות ואחד מן הזוית שכנגדן ידוע. תמשוך עמוד מזוית שבין הצלעות הידועים כזה
שצלע א"ב א"ג ידועים וזוית אב"ג ידוע. תמשוך עמוד א"ד. במשולש אד"ב -- זוית אב"ד אד"ב וצלע א"ב ידועים. אם כן גם השאר ידוע. ואחרי זה במשולש אד"ג -- צלעות א"ד א"ג וזוית אד"ג ידועים. אם כן גם השאר ידועים תעשה כנ"ל.
שצלע א"ב א"ג וזוית אב"ג ידוע. במשולש אב"ד -- צלע א"ב וזוית אב"ד אד"ב ידועים. גם השאר ידועים. ואחרי זה במשולש אג"ד -- צלעות א"ג א"ד ידועים וזוית אד"ג גם כן ידוע -- גם השאר ידועים (*נ)תעשה כנ"ל.
אופן החמישי, ששלש הצלעות ידועים. תמשוך עמוד מא' מן הזויות על צלע שכנגדו כזה
שצלעות א"ב א"ג ב"ג ידועים (*ס)תמשוך עמוד א"ד ועל ידי זה יתחלק קו ב"ג לשני חלקים.
(*ע)תחבר רבוע צלע א"ג עם רבוע צלע ב"ג, ותגרע מהם רבוע צלע א"ב.
והנשאר תחלק על צלע ב"ג.
והחצי מהנשאר הוא הצלע ד"ג.
תוציא אותו מצלע ב"ג -- הנשאר הוא צלע ב"ד.
או תחבר רבוע צלע א"ב עם רבוע צלע ב"ג ותגרע מהם רבוע צלע א"ג והנשאר תחלק על צלע ב"ג. והחצי מהנשאר הוא צלע ב"ד. תוציא אותו מצלע ב"ג -- הנשאר הוא צלע ד"ג.
והמופת על זה כי רבוע צלע א"ב פחות רבוע צלע ב"ד שוה לרבוע העמוד א"ד כמ"ש בסימן ע"ה. וכן רבוע צלע א"ג פחות רבוע צלע ד"ג שוה לרבוע עמוד א"ד. אם כן הן (*פ)בעצמן גם כן שוין כמ"ש סימן מ"ז.
ורבוע צלע ד"ג שוה לרבוע צלע ב"ג עם רבוע צלע ב"ד פחות שני פעמים כפלות צלע ב"ג עם צלע ב"ד כמ"ש סימן קי"ט.
(*צ)ומבואר בחכמת המספר אם תגרע מספר b = c - d ממספר a (יהיה a=d-b-c) [ יהיה a - b = a + d - c ] .
אם כן רבוע צלע א"ג עם ב"פ כפלות צלע ב"ג בצלע ב"ד פחות רבוע צלע ב"ג ורבוע צלע ב"ד -- שוה לרבוע צלע א"ב פחות רבוע צלע ב"ד.
תוסיף על (*ק)שני המספרים השוין רבוע צלע ב"ג ורבוע צלע ב"ד -- אם כן יהיה (*ר)רבוע צלע א"ב עם רבוע צלע ב"ג שוה לרבוע צלע א"ג עם ב' פעמים כפלות צלע ב"ד (*ש)ותדע צלע ב"ד. וכן להפך תוכל לעשות ותדע צלע ד"ג.
(ז')תחבר צלע א"ב וצלע א"ג. וכן תחסר צלע א"ב שהוא קטן מצלע א"ג הגדול. ואחר כך תרבע מספר המגורע עם המספר המחובר. ואחר כך תחלקם עם צלע ב"ג. ומספר המחולק תגרע מצלע ב"ג. והחצי מהנשאר הוא חלק הקטן מצלע ב"ג שהוא צלע ב"ד. והנשאר מצלע ב"ג הוא צלע ד"ג. או תוסיף מספר המחולק על צלע ב"ג והחצי מזה הוא צלע ד"ג והנשאר מצלע ב"ג הוא צלע ב"ד.
והמופת על זה כי רבוע צלע א"ב פחות רבוע צלע ב"ד שוה לרבוע צלע א"ג פחות רבוע צלע ד"ג כנ"ל בסימן קל"ו, (ח')ומבואר בחכמת המספר כי מספר a + b = c - b שוה למספר a + c = b + d, כי אם תוסיף על מספר השוה הראשון b + d תהיה a + d = c + b. תגרע מהן d + c, תהיה a + c = b + d. ולפי זה רבוע א"ג פחות רבוע א"ב שוה לרבוע ד"ג פחות רבוע ב"ד.
ומבואר בחכמת המספר כי שטח שא' מצלעות אורך a + c והב' a + c, השטח הוא aa cc.
וכן מבואר במופת כזה: שצלעות א"ב א"ג ארכן a וצלע ד"ב וצלע ג"ט ארכן c מרובע אדט"י צלע א"ט ארכו a + c וצלע א"ד a + c מרובע גחט"י שוה למרובע דבו"ה. אם כן מרובע א"ד גט"ח עם מרובע דבו"ה שוה למרובע אדט"י. אם כן אם תסיר ממרובע אבג"ד שהוא מרובע aa מרובע והח"ט שהוא cc הוא שוה למרובע אדט"י. אם כן רבוע א"ג פחות רבוע א"ב הוא שוה לשטח שא' מצלעותיהם הוא אורך א"ג עם א"ב והשני צלע הוא אורך א"ג פחות א"ב. וכן רבוע ד"ב פחות רבוע ב"ד שוה לשטח שאחד מצלעותי' ד"ג עם ב"ד והצלע השני ד"ג פחות ב"ד תשים שני צלעות משטח רבוע א"ג פ' רבוע א"ב בקצוות וב' צלעות משטח רבוע ד"ג פחות רבוע ב"ד באמצע -- יהיו נערכין זה אל זה כמ"ש בסימן מ"ד. ורבוע ד"ג פחות רבוע ב"ד הוא נעלם. תכפול שני הקצוות של הערך ותחלקם על א' מהאמצעות הידוע כמ"ש בסימן מ"ה ויוודע צלע ד"ע פ' צלע ב"ד תגרע אותו מצלע ב"ג ויצא ב"פ צלע ב"ד או תוסיף על צלע ב"ג יצא ב"פ צלע ד"ג.
שצלעות א"ב א"ג ב"ג ידועים. תמשוך עמוד א"ד. תחבר צלע א"ב עם צלע א"ג, ותחסר צלע א"ג מצלע א"ב, ותרבע מספר המגורע עם מספר המחובר. והנשאר תחלק על צלע ב"ג. (ט')ומהנשאר תגרע צלע ב"ג. והחצי מהנשאר הוא צלע ג"ד.
והמופת על זה כי רבוע צלע א"ב פ' רבוע צלע ב"ד הוא שוה לרבוע צלע א"ג פ' רבוע צלע ג"ד כנ"ל. אם (י')כן רבוע צלע א"ב פ' רבוע צלע א"ג שוה לרבוע צלע ב"ד פ' רבוע צלע ג"ד. אם כן כערך צלע א"ב עם צלע א"ג אל צלע ב"ד עם צלע ג"ד, כן ערך צלע ב"ד פחות צלע ג"ד שהוא צלע ב"ג אל צלע א"ב פ' צלע א"ג. תכפול שני קצוות הערך ותחלק על צלע ב"ג ויצא צלע ב"ד עם צלע ג"ד. תגרע מהם צלע ב"ג -- יצא ב"פ צלע ג"ד. ואחרי זה יהיה בכל משולש ג' כמותים ידועים כנ"ל.
(א)חצי יתר: ר"ל כשאנו אומרים בקע של קשת שמחזיק הקשת כ' מעלות הוא חצי מן היתר, שהוא יתר לקשת המחזיק מ' מעלות כמו שמפרש.
(ב)הוא גדול: כמו קשת ב"ח תמשוך קו ח"ג מקצה אחד ומקצה השני תמשוך קו ב"ה וכמ"ש בסימן שאחרי זה.
(ג)תראה החלקים: פירוש, אם לא תמצא מעלות הקשת שבידיך בלוח הבקעים תראה חלקי הבקע שנגד מעלות הקשת שבלוח הפחות(?) ממה שבידיך וגם תראה חלקי הבקע שנגד מעלות הקשת היותר ממה שבידיך וחלקי הבקע שבין הפחות והיותר שבלוח תעריך אל מעלות הקשת שבין הפחות והיותר שבלוח ותאמר אם מעלות הקשת שבין הפחות והיתר עושה כך חלקי הבקע שבין הפחות והיתר שבלוח כמה עוש' מעלות הקשת שבידיך היותר ממעלות הקשת הפחות שבלוח אל חלקי הבקע הנעלה וכמה שיעלה תוסיף על חלקי הבקע הפחות שבלוח ויצא חלקי הבקע. וכן תעשה אם לא תמצא חלקי הבקע שבידיך מכוון בנוח וכנ"ל. ולוח הבקעים תמצא בסוף החיבור כפי מה שמצעתי בספר עמודי השמים, עיין שם.
(ד) שהוא בקע לקשת בא"ח -- צ"ל שהוא תשלום בקע לבקע קשת בא"ח.
(ה)בסימן כ"ב: ר"ל ובכאן גם כן קוי ז"ו ב"ה חותכין לקוי ז"ב ו"ה שוין.
(ו)שהוא כל הבקע: ר"ל מפני שהוא שוה לקו א"ו כמ"ש בסימן ז' וקו היוצא וכולי.
(ז)כמ"ש וכולי: מפני ששני קוי ז"ב ו"ב(?) חותכין אותם.
(ח) כערך זוית -- צ"ל כערך בקע זוית בג"ד לבקע זוית גד"ב כן ערך וכולי.
(כ)שני קצוות: דהנה שני הערכין כך: אאגב - באב - גאבג - דאג : אאגד - באד - גאדג - דאג
ואם כן הנשארים נערכין כזה -- אב - אדג - אד - אבג. ועיין בסימן ל"ו.
(ל)אם כן כערך זוית אג"ב: פירוש דהנה יש כאן ב' ערכין אד"ג - אג - אגד - אד : אדב - אב - אבד - אד ושני הקצוות של שני הערכין שוות. אם כן האמצעיים נערכים כמ"ש בסימן הקודם והוא כך: אג - אב - אבד - אגד. והנה במקום אבד יכולים להציג אבג כי הוא הוא ובמקום אגד יכולים להציג אגב, כי בקע אחד לזית ושאריתו כמ"ש בסימן פ"ב. אם כן הערך הוא כך כזה: אג - אב - אבג - אגב ואם כן כערך ד' אל ב' כן ערך ג' אל א' כמ"ש סימן ל"ד.
(ת)שזוית בא"ד וכו': צ"ל שבקע זוית בא"ד גדול מבקע זוית אב"ד. ועין לעיל סימן ק"א(?).
(א*)וע"כ היא קטנה: עיין בכלל פ"ב פ"ג. והנה ע"כ היא קטנה דאם היא שוה לזוית דב"ג אם כן זוית בא"ד גם כן שארית לזוית אב"ד כמו זוית דב"ג ואם כן ע"כ בקעי בא"ד אב"ד שוין כמבואר בכלל פ"ב ובנידון דידן הוא גדול וכל שכן שאי אפשר לומר שזוית בא"ד קטן מזוית דב"ג דכיון שהוא קטן משארית זוית אב"ד היה צריך להיות גם בקעו קטן מבקע זוית אב"ד ואם כן ע"כ היא קטנה וזה אי אפשר וכולי. ועיין בכלל ס"ה.
(ב*)גדול מבקע: דהנה מבואר בסימן פ"ד דבקע תשלום הוא מה שחסר לקשת הבקע עד צ' מעלות ומאחר דבקע הא' הוא גדול מתשלום בקע השני אם כן ע"כ הם בקעים לקשת שהוא ביחד יותר מצ' מעלות. אם כן זוית הג' מחזיק פחות מצ' מעלות.
(ט*)אל כל הבקע: דהנה כערך צלע א"ג אל צלע ב"ג כן ערך זוית אב"ג אל בקע זוית בא"ג כמ"ש סימן פ"ז. אם כן סידורו כך אאג - בבג - גאבג - דבאג. אם כן נהפך גם כן הערך כמ"ש סימן ל"ג ופי' הערך הוא כך. ד"מ אם ידענו שקו א"ג הוא מאה אמה אם כן מספרו נגד המאה אלף חלקים של כל הבקע הוא א' מני אלף כן קו ב"ג שידוע לנו ד"מ שמחזיק נ' אמה ידענו שהבקע של אותו זוית בא"ג מחזיק נ' אלף חלקים, ר"ל חצי של כל הבקע. ואחר שתדע הבקע תראה בלוח הבקעים כמה מעלות הוא הזוית כמ"ש בסימן פ"ג.
(י*)וזוית בא"ג: ר"ל מאחר שידעת זוית אג"ב אם כן ידוע ממילא זוית בא"ג שהוא תשלומו ואחר כך אם תרצה לידע קו השוכב תעריך.
(ל*)כערך זוית וכו': ר"ל כערך בקע זוית בג"א אל צלע א"ב כן בקע זויות הנשארות אל הצלעות שכנגדן כמ"ש בסימן פ"ז שכערך הבקעים זה לזה כן ערכי הצלעות זה לזה. דרך משל משולש שבסימן קי"ב תציג כך:
אבקע זוית ב' - בבקע זוית ג' - גצלע אג - דצלע אב
אם כן מתהפך גם כן ערך א' לג' כערך ב' לד' כמ"ש סימן ל"ג.
(נ*)אם צלע השוכב וכו': זו השאלה נמצא בספרים בזה"ל כגון אילן שהוא גבוה שמנה אמות ונשבר ונמצא ראשו מונח על הארץ רחוק מעיקרו דרך משל ד' אמות ובמקום השבירה לא נפל לארץ רק נסמך על מקום השבירה מעתה צריך אני לידע כמה מעיקרו עד השבירה והאלכסון מן השבירה עד ראש האילן.
(ע*)תגרע צלע קטן: כמו שמפרש אחר כך שצלע הגדול הוא 5 ותגרע ממנו 2 והנשאר שהוא 3 תרבע. יעלה 9. שוה כמו שתרבע צלע הגדול בעצמו שהוא 25 וגם תרצף לזה רבוע צלע הקטן שהוא 4, סך הכל 29. ואחר כך תחסר מסך הכל ב' פעמים 2 פעם 5 דהיינו כפל צלע קטן בגדול והיינו 20. תגרע כ' מן כ"ט ישאר גם כן 9 כנ"ל.
(*ג)תוסיף עליהם: ר"ל על מרובע השוכב וגם על ח' פעמים ח' הפחות הנ"ל והיה עתה ח' פעמים ח' בשלימות בלי גירעון כלל יהיה ח' פעמים ח' השלם שוה להשוכב עם ט"ז נצבים וכמ"ש סימן מ"ו וכאן גם כן הוספ' מספר שוה היינו ט"ז נצבים על שני מספרים שוין היינו ח' פעמים ח' הפחות ומרובע השוכב אם כן ידענו דמרובע השוכב עם ט"ז נצבים הוא ח' פעמים ח' עתה נגרע מרוב' השוכב הידוע לנו שהוא ט"ז מן ח' פעמים ח' נשאר מ"ח הט"ז נצבים תחלקם על ט"ז חלקים נמצא נצב א' הוא ג' וע"כ האלכסון הוא ה'.
(*ד)תרבע צלע החבור: הוא ח' פעמים ח' כנ"ל ותגרע ממנו רבוע השוכב נשאר ט"ז נצבים כנ"ל. תחלק על צלע החבור דהיינו שמנה -- יצא ב' נצבים והחצי וכו' הוא נצב א' כנ"ל.
(*ו)bb/a וכו': דע כי בעלי אלגיברי יש להם סימנים כדומה אם תרצה לחסר מספר ממספ' כמו ב' מן ד' יוצג בתמונה זו 4 - 2, יורה הקו הרחב שבין ב' המספרים שהחסור ב' מן ד'. וכשתרצה לכפול מספר כמו ' פעם ז' יוצג כך 6•7, נקודה בין ב' המספרים. וכשתרצה לחלק מספר במספר כמו כ"ב לחלק על י"א יוצג כך 22/11, הקו מפסיק מתחת. וכשתרצה להשוות ב' מספרים, ר"ל שתאמר שמסר ב' פעם ח' שוה למספר ד' פעם ד' תציג כך[5] 4•4 = 2•8, בסי'(?) ב' קוין בין ב' המספרים השוים. וסימן החבור ר"ל ב' עם ד' תציג כך[6] 4+2. ועוד בחרו ליתן שמות למספרים שיש להם לחבר יחד או לגרע נותנים שמות למספר אחד באות א' ומספר השני אות ב' או באותיות לשון פולין מספר א' באות a ומספר השני באות b. וכאן מכנה הגאון צלע החבור בשם a וצלע השוכב בשם b ותמונה הנכתבת בפנים צ"ל כך
a*a/a - b*b = b*b/a - a
ר"ל רביע צלע השוכב שהוא בֶע פעם בֶע וחלוק על צלע החבור הקרוי אַ והיוצא מהחלוק נגרע ממספר אַ ונשאר ו' שוה כמו אם תחסר בֶע פעם בֶע ממספר אַ פעם אַ והנשאר תחלק על מספר אַ.
(*ז)א' מהצלעות: וכ"א מהשנים דומה לו דהזוית(?) כ"א הוא שלישית מק"פ מעלות כמ"ש סימן נ"זס"ג.
(*ח)א' מהשוקים: כל הסימן הזה מפורש בסימנים שאחר זה.
(*ט)או שאחד מן הזויות וכו': נ"ל שהוא טעות וצ"ל כך: או שאחד מן הצלעות השוות וצלע הג' ידוע(?) והוא אופן הא' הנזכר בסמוך ועיין בכלל ק"ט בסופו.
(*כ)וצלע א"ג הוא ידוע: ודעת לנבון נקל באם שידוע זוית בא"ג אג"ב וצלע א"ג צריך לעשות כך, הנה במשולש אג"ד זוית אד"ג ידוע וזוית אג"ד הוא גם כן ידוע כי הוא שארית זוית אג"ב הידוע. ואם כן גם זוית גא"ד ידוע כי הוא שאריתן כמ"ש סימן ס"ג וצלע א"ג ידוע אם כן גם שארי כמותים ידועים ואם כן צלע א"ד ממשולש אד"ב ידוע וגם כן תצרף זוית גא"ד לזוית בא"ג הידועים ויצא לך זוית בא"ד ואם כן גם זוית אב"ד ידוע כי היא שאריתן ואם כן גם שאר כמותים ממשולש אב"ד ידועים. תוציא צלע ד"ג מצלע ב"ד -- יצא צלע ב"ג. או שתעריך כערך הצלעות האחרות אל הזויות שכנגדן כן ערך צלע ב"ג אל הזוית שכנגדה ואם ידוע זוית אב"ג אג"ב וצלע ב"ג בזה ודאי לא יועיל הצורה הנ"ל(?) כאמרו בכלל הקודם וז"ל מזוית א' מן הידועים על צלע שכנגדו וצ"ל הציור כך [ציור] ולעשות כנ"ל שתדע מקוד' המשולש הקטן ואחר זה המשולש הגדול. וק"ל.
(*ל)כי כערך: עיין כלל פ"ז פ"ח וגם כאן אם ידוע לך זוית אב"ג אג"ב וצלע א"ג תעשה כנ"ל בביאור לסימן הקודם דהיינו שצריך לידע מקודם המשולש אג"ד הקטן ומזה תבא למשולש אב"ד הגדול וכנ"ל.
(*מ)תעשה כנ"ל: וגם כאן אם ידוע לך צלע א"ג ג"ב וזוית אג"ב תעשה כנ"ל ותדע משולש הקטן וכשתדענו אזי תצרף קו ?"ג לקו ג"ד ותדע קו ב"ד. ואחר שידעת קו א"ד ב"ד תדע גם קו א"ב כמ"ש בסימן ע"ה. ואם כן שארי כמותים ידועים.
(*נ)תעשה כנ"ל: וגם כאן אם ידוע לך צלע א"ב א"ג וזוית אג"ב תדע מקודם באופן הנ"ל משולש אג"ד הקטן ואחר כך תגרע קו א"ד מקו א"ב ויצא לך קו ב"ד כנ"ל בכלל קי"ד. ואם כן גם שארי כמותים ידועים.
(*ס)תמשוך עמוד א"ד: כל כוונתו שיוודע לנו גם צלע א"ד וצלע ב"ד וצלע ד"ג ועל ידי זה יוודע לנו שיעור כל הג' זויות של משולש אב"ג וכדמסיים בעצמו סוף סימן קל"ז.
(*ע)תחבר רבוע: דרך משל צלע א"ג הוא 6 וב"ג הוא 5 וא"ב הוא 4. תרבע 6 פ' 6, 5 פ' 5, סך הכל 61. תגרע רבוע א"ב שהוא 16 -- נשאר 45. תחלק על 5 -- יצא 9, וחציו הוא צלע ד"ג. אם כן צלע ב"ד הוא 1/2(?)
(*פ)בעצמם הם גם כן שוין: וידענו שקו א"ג פחות קו ד"ג שוה לקו א"ב פחות קו ב"ד. ומעתה אנו רוצים לידע שיעור קו ד"ג נדענו על ידי כלל קי"ט שהרי קו ב"ד הקטן נחתך מקו ב"ד הגדול, ולפי מש"ש מחזיק קו ד"ג שיעור רבוע קו ב"ג ורבוע קו ב"ד פחות ב"פ כפלת קו הקטן בקו הגדול שהוא ב"ד עם ב"ג. תוסיף על קו ד"ג זה הפחות הניטל ממנו דהיינו הב"פ כפלות וכו' מעתה הוא שיעור רבוע ב"ג וב"ד בלי גירעון. תוסיף גם כן זה המספר ב"פ כפלת וכו' על צלע א"ג -- מעתה קו א"ג עם התופסת פחות רבוע ב"ג וב"ד השלמים שוה לרבוע א"ב פחות קו ב"ד דמה לי קו א"ג לבדו פחות קו ד"ג בגרעון ב"פ כפלת או אפ הוספנו מספר שוה ב"פ כפלת על קו א"ג ועל קו ד"ג המגורע, וז"ש אם כן רבוע צלע א"ג וכו'.
(*צ) ומבואר בחכמת המספר וכולי עד אם כן רבוע צלע א"ג, עכ"ל -- נ"ל שצ"ל כך: אם תגרע מספר b = c - d ממספר a יהיה a - b = a + d - c ופירושו דרך משל:
תכנה מספר 20 באות a
ומספר 10 באות b
ומספר 12 באות c
ומספר 2 באות d
ועתה ר"ל אם תגרע מספר י' (שהיא שוה למספר י"ב פחות ב') ממספר כ' -- יהיה שוה מספר כ' פחות י' [ שהיא שוה ][7] למספר כ' מחובר עם ב' פחות י"ב. ועיין בסימן קי"ט בביאור פירוש הסימנים.
ובכאן
מכנה רבוע א"ג לאות a,
ורבוע ד"ג לאות b,
ושני רבועים של ב"ג וב"ד לאות c,
והשני כפלות לאות d.
ור"ל בכאן אם תגרע רבוע צלע ד"ג שהוא b והוא שוה לרבועים של צלע ב"ג וצלע ב"ד שהוא c פחות שני כפלות שהוא d מרבוע א"ג שהוא a יהיה רבוע א"ג פחות ד"ג הנ"ל שוה לרבוע א"ג שהוא a עם ב' כפילו' שהוא d פחות שני הרבועים ב"ג וב"ד שהוא c. וז"ש אם כן רבוע צלע א"ג וכו' שוה לרבוע צלע א"ב פחות רבוע צלע ב"ד ור"ל שהוא שוה גם כן לרבוע צלע א"ג פחות צלע ד"ג כמ"ש לעיל והמופת על זה וכולי.
(*ק)שני המספרים השוין: ר"ל אחד הוא רבוע צלע א"ב פחות קו ב"ד, השני הוא רבוע קו א"ג עם ב"פ כפלת פחות רבוע ב"ג וב"ד.
(*ר)יהיה רבוע: דהנה רבוע קו א"ב יתמלא ברבוע קו ב"ד שהיה מגורע ממנו ונוסף עלליו עוד רבוע קו ב"ג ושניהם גם כן נתוספו על רבוע קו א"ג(?) עם ב"פ כפלות שהיה מגורע מהם בתחלה.
(*ש)ותדע צלע ב"ד: דרך משל כמו שציינתי לך בס"ק ע' שקו א"ב הוא 4 וקו ב"ג הוא 5, תרבע ב' הקוין יעלה 4?(?) והוא שוה לרבוע קו א"ג שעולה 36 עם ב"פ כפילות וכולי. אם כן נשאר על הב"פ כפלת ב"ד עם ב"ג מספר 5 וח"א כ"א 1/2(?) פעם 5 עוד 1/2 פעם 5 עולה ה'. ה' ול"ו הוא מ"א כנ"ל. אם כן ידענו שקו ב"ד הוא חצי וקו ד"ג ד' וחצי.
(*ת)ידועים: דרך משל צלע א"ב הוא 13 וצלע ב"ג הוא 8 וצלע א"ג הוא 5/12(?) 6 בקירוב דק. תרבע צלע א"ב -- יהיה 169. ותגרע ממנו רבוע צלע א"ג שהוא 41 בקירוב ורבוע צלע ב"ג שהוא 64. אם כן נשאר 64. תחלק אותו על צלע ב"ד שהוא 8 -- יצא 8. וחציו הוא 4. והוא שיעור צלע ג"ד.
(א')כי רבוע צלע א"ב: דהנה רבוע צלע א"ב מחזיק כמדת ב' המרובעים מן צלע ב"ד וצלע א"ד כמ"ש סימן ע"ה. אם כן כשתסיר ממנו רבוע צלע ב"ד לא נשאר בו כי אם מרובע צלע ג"ד וצלע א"ד. אם כן כשתסיר ממנו מרובע ג"ד לא נשאר בו כי אם מרובע צלע א"ד. ומאחר ששניהן שוין לרבוע צלע א"ד הם בעצמן גם כן שוין כמ"ש בסימן מ"ז.
(ב')כמ"ש בסימן ע"ה: ר"ל שנחתך צלע קטן מצלע גדול קו ג"ד מקו ב"ד.
(ג') פחות רבוע עד תיבת שוה לרבוע -- כל זה נכלל במה שכתב לעיל פחות רבוע צלע ב"ד.
(ד') תוסיף וכולי עד תיבת יהיה -- מעתה יהיה רבוע צלע א"ב בשלימות בלי תוספת וגירעון כי כל מה שהיה פחות נשלם מעתה ורבוע צלע א"ג שהיה חסר רבוע צלע ג"ד מעתה נשלם בו ונותסף עליו עוד רבוע צלע ב"ג וב"פ כפלת צלע ב"ג בצלע ג"ד. מעתה ידענו שרבוע צלע א"ב יש בו רבוע צלע א"ג וגם רבוע צלע ב"ג וגם ב"פ כפלת הנ"ל וזה מה שהתחיל וכתב תרבע צלע א"ב ותגרע ממנו רבוע צלע א"ג ורבוע צלע ב"ג אם כן לא ישאר בתוכו כי אם הב' כפלות הנ"ל והנה לפי המספר שהצגתי לפניך ד"מ בס"ק ת נשאר על הב' כפלות דך 64(?), תחלקם על צלע ב"ג שהוא 8, יצא 8. וחצי הוא 4, הוא צלע ג"ד דהיינו ממש כשתרצה לעשות מספר 64 על ב' כפלות צלע ב"ג הידוע שהוא 8 עם צלע ג"ד שאינו ידוע וע"כ צריך לומר שצלע ג"ד הוא 4 וא"א באופן אחר מעתה תחבר צלע ג"ד עם צלע ב"ג, יצא לך צלע ב"ד. ומאחר שידוע לך אלכסון א"ב והשוכב ב"ד -- יוודע לך גם כן צלע א"ד כמ"ש בסימן קי"ז והוא לפי המספר שהנחנו בס"ק ת' הוא 5. וכן ידוע לך מעתה כל הג' צלעות אג"ד וזה מה שסיים ואחר כך שתדע וכולי.
(ז')תחבר: דרך משל כנ"ל שצלע א"ג הוא 6 וצלע ב"ג הוא 5 וצלע א"ב הוא 4. תחבר 6 עם 4 -- הוא 10. ואחר כך תחסר 4 מן 6 ונשאר 2. ואחר כך תכפול 2 פעמים 10 -- עולה 20. תחלקם על 5 -- יעלה 4. תגרע זה מן 5 -- נשאר 1. וחציו הוא צלע ב"ד שהוא 1/2, וכנ"ל סימן קל"ו ס"ק ע.
(ח') ומבואר בחכמת המספר כי מספר 6 וכולי עד ומבואר בחכמת המספר כי שטח בתחילה אציג הנוסחה שנ"ל לפי כוונתו ואחר כך אוסיף ביאור. וזה תוכן כוונתו.
אם יהיו שני משוים שוים כמו[8] A = B - C : A = D - H, נמצא שהם בעצמם גם כן שוים. ר"ל B - C עם D - H כמ"ש סימן מ"ז. ולכן גם C - H שוה למספר D פחות B. והמופת על זה כ"א תוסיף על שני צידי ההשתוות מספר C - D ויהיה התמונה כך[9] D - H + C - D : B - C + C - D , הנה לא יושחת בזה השתוותם כי בשניהם נתוספו מספרים שוין, היינו C - D. תגרע מספר C המחויב ומספר C המשולל, כי אחד מבטל חברו, כי מה לי אם אני מחסר מקודם מספר C ואחר כך אני מחבר מספר C או אני מוחק שניהם. וכן במספר השני תמחוק שני מספרי D(?), שאחד מחוייב והשני משולשש. ואם כן הנשאר ממספר השני שהוא C - H שוה לנשאר ממספר הראשון שהוא B - D. ולפי זה רבוע א"ג פחות רבוע א"ב שוה לרבוע ד"ג פחות רבוע ב"ד. עד כאן תוכן כוונתו.
והנה מכנה רבוע א"ג לאות B ורבוע ד"ג לאות C ורבוע א"ב לאות D ורבוע ב"ד לאות H. וידוע לך מכבר כי ב' קוי רחב כזה "+" הוא סימן החיבור. כמו 4 + 6 הוא ד' עם ו'. וקו א' רחב כזה - הוא סימן החיסור כמו 4 - 6 הוא ו' פחות ד'. ומעתה אבאר מ"ש אם יהיו ב' משוי' וכולי.
דרך משל A הוא סימן למספר 10 ואות B הוא סימן למספר 16, ואות C הוא סימן למספר 6, ואות D למספר 14, ואות H למספר 4. ועתה אציג לפניך ב' המשוים במספרים לבד, אחד הוא 6 - 16 = 10, והשני הוא 4 - 14 = 10. השני קוין באורך הוא סימן ששוה מספר של ימין הקוין לשל שמאל. נמצא לפי כלל מ"ז מאחר שהושוו שניהם למספר 10 הם בעצמם גם כן שוין. ר"ל 6 - 16 למספר 4 - 14. ויוצא מזה שגם 4 - 6 למספר 14 - 16. והמופת על זה שאם תוסיף על ב' המספרים השוים הנ"ל 14 - 6 דהיינו ו' תוסיף על כל הסך וי"ד תחסר מכל הסך ויהיה אז התמונה כך 14 - 6 + 6 - 16 : 14 - 6 + 4 - 14, יהיו גם עתה שוים כי בשניהם נתוספו מספרים שוים היינו 14 - 6. תגרע מכל אחד מן המספרים שני מספרים שוים שהאחד מחוייב והשני משולל כמו במספר הראשון תגרע הב"פ ו' שהא' בהוספה על החשבון והשני בגרעון ויצא ההוספה בגירעון ולכן תוכל להשליך שניהם וישאר החשבון כבתחלה. וכן תגרע במשוה השני שני מספרים שוים, אחד בחיוב ואחד בשלילה, דהיינו מספרי י"ד, וישאר גם כן החשבון כבתחלה. ואם כן נשארו שוים ב' המספרים הנשארים במשוה הראשון דהיינו 14 - 16, שהי"ו בחיוב והי"ד בשלילה עם ב' מספרים הנשארים במשוה השני דהיינו 4 - 6 שהוא בחיוב והד' בשלילה. וז"ש "ולפ"ז רבוע א"ג פחות רבוע א"ב שוה לרבוע ד"ג פחות רבוע ב"ד", עכ"ל. ר"ל שגם כאן יש ב' משוים; האחד הוא Cד"ג - Bא"ג = Aא"ד, והשני Hב"ד - Dא"ב = Aא"ד וכו'(?) כנ"ל בסימן קלו. אם כן מאחר ששניהם הושוו למספר A שהוא א"ד, אם כן שוים א"ג פחות ד"ג לא"ב פחות ב"ד שהוא B - C : D - H, ואם כן לפי הכלל הנ"ל שוים גם כן א"ג פחות א"ב שהוא B - D לד"ג פחות ב"ד שהוא C - H. וזהו מה שרצינו לבאר.
אבל עדיין לא נודע לנו כמה מספר רבוע ד"ג וכן רבוע ב"ד ולא כמה צלעותיהם, רק זה ידענו קו ד"ג עם ב"ד יחד. על זה אמר עוד "ומבואר בחכמת המספר כי שטח וכולי" עד סוף הסימן. ומחמת שהלשון מוטעה מאוד אציגה מקודם הנוסחה האמתית לפי תוכן כוונתו ואחר כך אבאר. וכצ"ל:
ומבואר בחכמת המספר כי שטח שא' מצלעות אורך A + C והב' A - C, השטח הוא C•C - A•A. וכן מבואר במופת כזה שצלעות א"ב א"ג ארכן וצלע ד"ב וצלע ג"ט ארכן מרובע אדט"י, צלע א"ט ארכו C + A וצלע א"ד A - C מרובע גחט"י שוה למרובע דבו"ה. אם כן מרובע אדג"ח עם מרובע דבו"ה שוה למרובע אדט"י. אם כן אם תסיר ממרובע אבג"ז שהוא מרובע AA מרובע והח"ז שהוא CC הוא שוה למרובע אדט"י. אם כן רבוע א"ג פחות רבוע א"ב הוא שוה לשטח שאחד מצלעותיו הוא אורך א"ג עם א"ב וצלע השני הוא א"ג פחות א"ב. וכן רבוע ד"ג פחות רבוע ב"ד שוה לשטח שא' מצלעותיו ד"ג עם ב"ד והשני ד"ג פחות ב"ד תשים שני צלעות משטח רבוע א"ג פחות רבוע א"ב בקצוות וב' צלעות משטח רבוע ד"ג פחות רבוע ב"ד באמצע -- יהיו נערכין זה אל זה כמ"ש בסימן מ"ד. ורבוע ד"ג פחות רבוע ב"ד נעלם. תכפול שני הקצוות של הערך ותחלקם על א' מהאמצעיות הידוע כמ"ש בסימן מ"ה ויוודע צלע ד"ג פחות צלע ב"ד. תגרע אותו מצלע ב"ג ויצא ב"פ צלע ב"ד. או תוסיף על צלע ב"ג -- יצא ב"פ צלע ד"ג. עכ"ל לפי כוונתו.
ועתה אבאר וקודם שאפרש זה אקח לדוגמא מספר של כל אות המובא פה דהיינו דרך משל A הוא מספר 10, ואות C הוא מספר 6. וזהו שכתב ומבואר בחכמת המספר כי שטח שאחד מצלעות אורך A + C, ר"ל A עם C דהיינו 16. והב' A - C, ר"ל A פחות C דהיינו 4, ואם כן הוא מרובע 16 על 4. השטח הוא CC - AA, ר"ל מחזיק השטח מרבוע הנ"ל A פעם A דהיינו מאה, פחות CC דהיינו 36, ונשאר 64. וכן שטח מרובע הנ"ל שהוא 16 על 4 גם כן 64. וכן מבואר במופת כזה [ציור הקודם] שצלעות א"ב א"ג ארכן A, ר"ל שצלעות א"ב א"ג הם ממרובע שוה הצלעות. וצלע ד"ב וצלע ג"ט ארכן C, דהיינו 6. מרובע אדט"י צלע ח"ט ארכו A + C, ר"ל C עם A דהיינו 16 שמן א' עד ג' ארכו A שהוא 10 ומן ג' עד ט' ארכו C שהוא 6. וצלע א"ד A - C ר"ל A פחות C שהוא 4. מרובע גחט"י שוה למרובע דבו"ה ר"ל ששניהם מחזיקין 6 על 4. אם כן מרובע אדג"ח עם מרובע דבו"ה ר"ל שאותן שני מרובעים נשארו ממרובע אבג"ז לאחר שהוסר ממנו מרובע הוז"ח. שוה למרובע אדט"י ר"ל כיון שמרובע ?בו"ה שוה למרובע גחט"י כמ"ש לעיל מה לי מרובע דבו"ה עם מרובע אדג"ח או מרובע גחט"י עם מרובע אדג"ח. אם כן אם תסיר ממרובע אבג"ז שהוא מרובע A•A, ר"ל A פעם A שהוא מאה. מרובע והח"ז שהוא C•C, ר"ל C פעם C שהוא 36, וישארו 64. הוא שוה למרובע אדט"י, ר"ל שממרובע אבג"ז שנחסר מרובע והח"ז נשאר שני המרובעים אדג"ח דבו"ה וכבר נתבאר לעיל שמרובע אדג"ח עם מרובע דבו"ה שוה למרובע אדט"י. ואם כן נתבאר שממרובע ממספר גדול דהיינו A פעם A שנחסר ממנו מרובע ממספר קטן דהיינו CC והיה מחזיק שטחו מרובע מב' צלעות שאחד יהיה אורך מספר הקטן עם מספר הגדול והב' יהיה אורך הנשאר כשנגרע מספר הקטן ממספר הגדול, ובסך הכל יהיה פחות מרבוע צלע הראשון כפלים מספר הקטן שבתחלה הוספנו עליו מספר הקטן ועתה לקחנו ממנו מספר הקטן. אם כן רבוע א"ג פחות רבוע א"ב, ר"ל במשולש הנ"ל בראש הסימן שרבוע א"ג הוא גדול ורבוע א"ב הוא קטן שנחסר רבוע הקטן מרבוע הגדול. הוא שוה לשטח שא' מצלעותיו הוא אורך א"ג עם א"ב, ר"ל שהוא מספר צלע הקטן עם הגדול. וצלע השני הוא א"ג פחות א"ב, ר"ל שהוא הנשאר מצלע הגדול שנחסר ממנו צלע הקטן כנ"ל. וכן רבוע ד"ג פחות רבוע ב"ד, ר"ל במשולש הנ"ל שנחסר רבוע ב"ד הקטן מרובע ד"ג הגדול. שוה לשטח שא' מצלעותיו ד"ג עם ב"ד, ר"ל צלע הגדול וצלע הקטן כנ"ל. והשני ד"ג פחות ב"ד, ר"ל הנשאר מצלע הגדול אחרי שנחסר ממנו צלע הקטן. תשים שני צלעות משטח רבוע א"ג פחות רבוע א"ב בקצוות, ר"ל שהם ידועים לנו שא' הוא אורך א"ג עם א"ב והב' הוא אורך א"ג פחות א"ב ומספר כל צלע מהמשולש הנ"ל ידוע לנו. וב' צלעות משטח רבוע ד"ג פחות רבוע ב"ד באמצע ויהיו נערכין זה אל זה כמ"ש בסימן מ"ד, ר"ל אם היה ידוע לנו גם צלע ד"ג פחות ב"ד. וצלע ד"ג פחות צלע ב"ד הוא נעלם, ר"ל שאין ידוע לנו אלא צלע הארוך שהוא ד"ג עם ב"ד שהוא צלע ב"ג מהמשולש הנ"ל אבל צלע הקטן שהוא ד"ג פחות ב"ד עדיין אין אנו יודעים. תכפול שני הקצוות של הערך, ר"ל שהוא ידוע. ותחלקם על א' מהאמצעיות הידוע כמ"ש בסימן מ"ה, ר"ל על צלע הארוך שהוא ד"ג עם ב"ד שהוא ידוע כנ"ל. ויוודע צלע ד"ג פחות ב"ד, ר"ל שהוא הצלע השני הקטן. תגרע אותו מצלע ב"ג, ר"ל שהוא הארוך ד"ג עם ב"ד. ויצא ב"פ צלע ב"ד, כמ"ש לעיל שבצלע הראשון הארוך הוספנו אל צלע ד"ג הצלע ב"ד ובצלע השני לקחנו ממנו הצלע ב"ד, אם כן הוא פחות ב' פעמים צלע ב"ד. או תוסיף על צלע ב"ד ויצא ב' פעמים צלע ד"ג, ר"ל שתוסיף צלע ד"ג פחות ב"ד על צלע ד"ג עם ב"ד ויהיה ב' פעמים צלע ד"ג.
(י')אם כן רבוע צלע א"ב וכולי: ר"ל כפי הנכתב בסימן קל"ח ומ"ש אם כן כערך צלע א"ב עם צלע א"ג -- פירושו, כפי שנכתב בסימן קל"ח שתשים שני הצלעות בשני הקצוות בערך היינו א"ב + א"ג : ב"ד + ג"ד = ב"ד - ג"ד : א"ב - א"ג תכפול שני קצוות הערך ותחלוק על צלע ב"ג שהוא שוה לצלע ב"ד - ג"ד ויצא צלע ב"ד + ג"ד. תגרע מהם צלע ב"ג ויצא ב"פ צלע ג"ד. לכן יצדק אמרו והחצי הוא צלע גד.
דרך משל בצורה זו: [ציור] א"ב הוא 20, א"ג הוא 15, ב"ג הוא 7. ויהיה כפלת שני הקצוות בערך הנ"ל 35 פעם 5 ויצא 175. תחלק על צלע ב"ג שהוא 7 ויצא המנה 25 שוה לצלע ב"ד + ג"ד. תגרע מהם צלע ב"ג 7 ונשאר 18. והחצי הוא 9 שהוא צלע ג"ד הנעלם. וזה שרצה לבאר.
שקו ג"ד מקביל לקו א"ב הנה זוית משולש אה"ב שוין לזוית משולש ב"ד כ"א לדומה לו כמ"ש בסימן כ"ו. אם כן צלעותיהם נערכין כנ"ל בסימן הקודם.
