איל משולש/מאמר חמישי

<< · איל משולש · מאמר חמישי · >>

איל משולש

קמ

אם תעשה נקודה בתוך עיגול, נקודה אחת חוץ למרכז כזה

שא' הוא המרכז והב' היא נקודה חוץ למרכז. ותמשוך מהנקודה שני קוין ועד העיגול -- קו הגדול מכל הקוין הוא העובר על המרכז עד העיגול. והנקודה במקום שפוגע הקו בקשת -- והוא נקודת ג' -- יקרא "רום", כי היא המקום הרחוק מנקודת ב' מכל המקומות שבעיגול. ואם תמשוך האלכסון עד קצה האחר -- אותו המקום, והוא נקודת ה', יקרא "שפל" כי הוא המקום הקרוב לנקודת ב' מכל המקומות שבהיקף העיגול. והקו היוצא מנקודת ב' עד השפל הוא הקו הקצר מכל הקוין היוצאין מנקודת ב' עד העיגול.

והמופת:

• שתמשוך מנקודת ב' עד נקודה אחת -- דרך משל עד נקודת ד' -- על כרחך הוא קצר מקו ב"ג.
• כי קו א"ד עם קו א"ב ^(א)על כרחך ארוך מקו ב"ד,
• וקו א"ד הוא ^(ב)שוה לקו א"ג.
• אם כן קו א"ד עם קו א"ב ^(ג)שוה לקו ב"ג,
• ועל כרחך קו ב"ד קצר מקו ב"ג.

וכן על כרחך קו ב"ד ארוך מקו ב"ה.

• כי קו ב"ד עם קו א"ב הוא יותר מקו א"ד כנ"ל,
• וקו א"ב עם קו ב"ה ^(ד)הוא שוה אל קו א"ד,
• וע"כ קו ב"ד גדול מקו ב"ה.

וכל הקוין היוצאים מן נקודת ב' ההולכין מן הרום ועד השפל הולכין ומתקצרין תמיד.

קמא

אם תחלק קו א"ב על ב' חלקים שוין, ותמשוך ממנו קו על זוית נצבת עד העיגול, והוא עד נקודת ו' -- כל הקוין היוצאין מן נקודת ב' --

• מהרום עד נקודת ו' הוא גדול מחצי אלכסון,
• מנקודת ו' עד השפל הוא קטן מחצי אלכסון,
• ועל נקודת ו' הוא שוה לחצי אלכסון,
  

מאחר שקו ו' חותך קו א"ב לב' ^(ה)חלקים על זויות נצבות, אם כן משולש אב"ו הוא משולש שוה שוקיים כמ"ש בסימן נ"ב וקו א"ו הוא חצי אלכסון. אם כן גם קו ב"ו הוא חצי אלכסון.

קמב

זוית גא"ד הוא בכל הקוין היוצאים מן האלכסון גדולים מזוית גב"ד בכל הקוין היוצאין מנקודת ב' ונפגשין בהקף העיגול עם קו א"ד כמ"ש בסימן ס"ז. וזוית דא"ה הוא קטן מזוית דב"ה בכ"מ שהולכין כמ"ש שם.

קמג

ההפרש שבין הזוית גא"ד לזוית גב"ד הוא שוה לזוית אד"ב.

והמופת על זה שתמשוך קו מקביל מנקודת ב' עד העיגול לקו א"ד כזה

קו ב"ו מקביל לקו א"ד. זוית גב"ו שוה לזוית גא"ד ^(ו)כמ"ש בסימן כ. ^(ז)תחסר מהם הזוית גב"ד -- תשאר זוית דב"ו. וזוית דב"ו שוה לזוית אד"ב כמ"ש בסימן ס"ב.

קמד

ובמופת אחר יתבאר גם כן כי זוית גא"ד שוה לזוית אב"ד אד"ב כמ"ש סימן ס"ה. אם כן זוית גא"ד גדול מזוית אב"ד בזוית אד"ב. וכן הוא בכ"מ ^(ח)שהולכין הקוין מהרום עד השפל. וכן הוא הפרש בין זוית דא"ה לבין ^(ט)זוית דב"ה בכ"מ.

קמה

אם ידוע ההפרש שבין המרכז והנקודה שהוא קו א"ב תדע בכל מעלה ומעלה מהרום עד השפל כמה הוא זוית החילוף שהוא זוית אד"ב. וכן תדע קו ב"ד בכ"מ שהוא קו היוצא מהנקודה עד העיגול אחרי שידוע זוית גא"ד זוית דא"ב הוא שארית לו כמ"ש בסימן ט"ו. וקו א"ד הוא חצי אלכסון וקו א"ב גם כן ידוע אם כן ידוע גם שארי כמותים כמו שכתבתי בסימן קל"ג. וכן אם תדע זוית החילוף תוכל לידע ^(י)ההפרש שבין המרכז והנקודה.

קמו

זוית החילוף הולכת ומתגדלת תמיד מהרום עד השפל בנקודת ט' שהוא המקום שהקו היוצא משם עד נקודת ב' הוא על קו ג"ד על זוית נצבת כזה

ומנקודת ט' עד השפל הולך ומתקטן. ועל נקודת ט' הוא הזוית הגדול מכל הזויות החילוף.

והמופת על זה כי כערך בקע קו א"ט אל קו א"ב ^(כ)כן ערך זוית אב"ט אל בקע זוית אב"ט וקו א"ט א"ב עומדים בכ"מ על אורך אחד. אם כן בקע זוית אט"ב הוא לפי ^(ל)גודל בקע זוית אב"ט ובקע זוית נצבה הוא הגדול מכל הבקעים כמ"ש בסימן פ"ג והוא זוית אב"ט בנקודת ט'. אם כן גם זוית אט"ב בנקודת ט' הוא גדול מכל זויות החילוף ושיעור בקע זוית אט"ב בנקודת ט' ^(מ)כערך קו א"ב אל חצי אלכסון כמ"ש בסימן פ"ז. ומהשפל ועד הרום הוא להפך, שמן נקודת ד' עד נקודת ט' זוית החילוף הולך ומתגדל ומשם ועד הרום הולך ומתקצר.

קמז

אם תמשוך קוין מן המרכז ^(נ)עד כל מעלה ומעלה שבהקיף העיגול וכן תמשוך קוין לכל מעלה מן הנקודה היוצאת חוץ למרכז בכל המעלות מהרום עד ^(ס)נקודת ט' שבסימן הקודם -- זוית של המרכז ^(ע)גדול. ומנקודת ט' עד השפל -- זוית של ^(פ)היוצא גדול. כזה שזוית הא"ו גדול מזוית הב"ו וזוית זא"ח קטן מזוית זב"ח.

קמח

כל שהקשתות יותר קרוב לרום ^(צ)החילוף שבין הזויות הא"ו הב"ו הוא יותר גדול והולך ומתקצר החילוף הזה עד נקודת ט'. וכן הוא אצל השפל, כל שקרוב לשפל החילוף בין הזוית זא"ח זב"ח הוא יותר גדול והולך ומתקצר עד נקודת ט'.

קמט

כל מה שדברנו מצד שמאל של האלכסון גא"ד הוא גם כן מצד ימין. לפיכך אם תחשוב המעלות של זוית והקשתות מהרום עד ק"פ מעלות תחשוב כ"ז מהרום עד השפל ומק"פ מעלות עד ש"ס מעלות תחשוב כ"ז מהשפל עד הרום.

קנ

אם תעשה עיגול קטן על היקף עיגול גדול ותמשוך קוין מן מרכז עיגול הגדול עד היקף עיגול הקטן -- הקו היותר גדול מכל הקוין הוא העובר על מרכז עיגול הקטן כזה

שתעשה עיגול אבג"ד על היקף עיגול אד"כ -- הקו הגדול היוצא ממרכז ח' עד היקף עיגול הקטן הוא קו א"ב ונקודת ב' יקרא רום והקו הקטן מכל הקוין הוא קו ח"ז ונקודת ז' יקרא שפל.

והמופת על זה כנ"ל בסימן ק"מ, שאם תמשוך קו ח"ג ע"כ הוא קטן מקו ח"ב ^(ק)כי קוי ח"ו ח"ה שוין, וכן קוי ב"ו ג"ו ^(ר)שוין, וקוי ח"ו ג"ו הם ביחד גדולים מקו ח"ג. אם כן גם קו ח"ב הוא גדול מקו ח"ג.

וכן קו ח"ג הוא גדול מקו א"ז. והמופת הוא גם כן כמו בסימן הנ"ל כי קוי ח"ג ו"ג ביחד הם גדולים מקו א"ו וקו ח"ז עם קו ג"ו ^(ש)הוא שוה לקו ח"ו.

וכל הקוין ההולכים מהרום ועד השפל הולכין ומתקצרין תמיד. וכן כל הכללים שנתבאר בסימן ק"מ עד סימן קמ"ט הוא גם כן כאן כמו שיתבאר.

קנא

כל הקוים ההולכים מהרום ועד היקף עיגול הגדול שהוא נקודות ד' א' הן גדולים מחצי אלכסון הגדול שהוא קו ח"ו ומשם עד השפל הם קטנים מחצי אלכסון ובשני נקודות הנ"ל הם שוין לחצי אלכסון ^(ת)כמ"ש בסימן כ"א.

קנב

ההפרש שבין זוית בו"ג לזוית גח"ו הוא זוית חג"ו.

והמופת הוא גם כן כנ"ל בסימן קמ"ג וכן בכל נקודה ונקודה מהקף עיגול הקטן. וזוית הזה הולך ומתגדל מהרום עד השפל וזוית חו"ג הוא להפך שהולך ומתקצר מהרום עד השפל. וזוית גח"ו הולך ומתגדל מהרום ועד המקום ^(א*)שהקו היוצא ממרכז עיגול הקטן הוא עמוד נצב על הקו היוצא מן המרכז עיגול הגדול והוא נקודת ט'. והמופת הוא גם כן כנ"ל בסימן קמ"ו כי כערך חצי אלכסון הגדול אל חצי אלכסון הקטן כן ערך בקע זוית וג"ח אל בקע זוית גח"ו. לפיכך הואיל והחצי אלכסונים הן עומדים על מדה א' תלוי זוית גח"ו לפי גודל בקע זוית וג"ח והגדול מכל הבקעים הוא של זוית נצבת אם כן גם זוית גח"ו הוא הגדול מכל ^(ב*)הזויות ומשם ואילך הולך ומתקצר עד השפל. ומהשפל עד הרום הוא להפך.

קנג

ואם ^(ג*)ידוע ערך אלכסון הקטן אצל האלכסון הגדול וידוע כמה הנקודה רחוק מהרום בכל מעלה ומעלה שמתרחק מהרום שהוא זוית בו"ג -- תדע כל השלש זויות של המשולש גח"ו וגם צלע ג"ח אחר שזוית גו"ו ידוע שהוא שארית זוית גו"ג וכן צלעות ג"ו ח"ו ידועים, אם כן גם שארי כמותים ידועים.

וכן אם תדע ערך האלכסונים ^(ד*)וזוית גח"ו תדע הנשארים או אם ידוע ^(ה*)זוית בו"ג גח"ו ואלכסון הגדול גם שארי כמותים ידועים. וכן אם שארי כמותים ידועים.

קנד

ומבואר מסימן קנ"ב ^(ו*)שזוית גח"ו הגדול מדתי כערך חצי אלכסון הגדול אל חצי אלכסון הקטן כן ערך כל הבקע אל בקע הזוית הנ"ל. וכל הכללים שנתבאר אצל נקודה חוץ למרכז הם כאן בצורה שנתבאר בסימן ק"נ.

קנה

כבר בארנו שבכל חלק וחלק מהרום עד נקודת ט' זוית גח"ו הולך ומתגדל אבל היתרון אינו שוה בכל חלק כי כל מה שקרוב לרום הזוית יותר גדול מכל חלק וכן הוא אצל השפל כזה

אף שקשתות עיגול הקטן בכג"ז קשתות ב"כ כ"ג שוין -- מכל מקום זוית בח"כ ^(ז*)גדול מזוית כח"ג. וכן הוא אצל השפל אף שקשתות ז"ץ צ"ק שוין -- מכל מקום זוית זח"ץ גדול מזוית צח"ק וכל מה שכתבנו בעיגול הקטן נוהג גם בצד ימין של העיגול הקטן לפיכך אם תחשוב מהרום עד ק"פ מעלות תחשוב כ"ז מהרום עד השפל ומק"פ מעלות עד ש"ס מעלות תחשוב מהשפל עד הרום.

קנו

אם העיגול שחוץ למרכז בסימן ק"מ שוה לעיגול הגדול שבסימן הקודם והפרש שבין המרכז והנקודה חוץ למרכז שוה לחצי קוטר עיגול הקטן ^(ח*)שעיגול הזה שוה לעיגול הגדול שבסימן הקודם וקו ת"ש שבכאן(?) שוה לחצי קוטר ב"ו -- כל הששה כמותים של משולש תר"ש שוה להששה כמותים של המשולש גו"ח בכל מעלה ומעלה שנתרחק ר' מן נ'. וכן שם ג' מן ב' אם המעלות הן שוין כי זוית גו"ח רת"ש הן שוין כי הן שארית הקשתות ב"ג נ"ר ^(ט*)וקו ו"ח ת"ר שוין וכן קוי ג"ו ת"ש שוין וע"כ כל שארי כמותין שוין כמ"ש סימן כ"ד.

קנז

אם ^(י*)זוית וח"מ שוה לזוית עמ"פ וקו ח"י שוה לחצי קוטר עיגול הקטן שהוא קו מ"פ -- ע"כ גם קו י"פ שוה לקו ח"מ.

והמופת כי הואיל וזוית וח"מ עמ"פ שוין על כרחך קוי קוי י"ח פ"מ הן מקבילין כמ"ש סימן כ' וע"כ גם זוית פח"י חפ"מ הם שוים כמ"ש סימן ס"ב וקוי ח"י פ"מ הם שוין וקו פ"ח הוא משותף לב' המשולשים פי"ח פמ"ח ואם כן כל הכמותים של המשולשים האלו הם שוים כמ"ש סימן כ"ד.

ומזה נתבאר שקוי י"פ ח"מ הן מקבילין הואיל וזוית יפ"ח פח"מ הן שוות כנ"ל ע"כ הקוין הם מקבילין כמ"ש סימן ס"ב. וכן יתבאר שזוית וי"פ וח"מ הן שוות הואיל והקוין י"פ ח"מ הן מקבילין. וכן הוא כל זה בכל החלקים מעיגול הגדול שנעתק מרכז עיגול הקטן שהוא נקודת מ' מנקודת ו' ואות פ' מעיגול הקטן נעתק מאות ע' ושני הקשתות ו"מ פ"ע שוין.

קנח

מזה ^(כ*)נתבאר שאם ^(ל*)תעתיק עיגול הקטן סביב עיגול הגדול וכן תעתיק אות פ' סביב עיגול הקטן כ"כ חלקים שנעתק מרכז עיגול הקטן כ"כ ג"כ יעתק נקודת פ' יעשה נקודת פ' עיגול גדול שוה לעיגול אבכג"ז ונקודת י' יהיה מרכזו כי נתבאר בסימן הקודם שבכל המקומות יהיה קו י"פ שוה לקו ח"מ שהוא חצי אלכסון אם כן ע"כ נקודת י' יהיה המרכז ונקודת ח' חוץ למרכז ויהיה משולש יפ"ח בעיגול החדש שוה כמו משולש תר"ש בעיגול נר"ה בכל האופנים שוה בשוה ממה בכל מקום מהעיגולים כי קוי י"ח ת"ש הם שוין וכן קוי י"פ ת"ר הן שוין, וכן זוית פי"ח רת"ש הן שוין כי הן שארית זוית וי"פ נת"ר ואם כן כל הכמותין הן שוין וכ"ה בכל חלק וחלק מעיגולים האלו עד שאם יונח עיגול החדש על עיגול נר"ה יבא משולש יפ"ח על משולש תר"ש קו על קו ממש וברום ובשפל שיתאחדו קוי תר"ש יתאחדו גם כן קוי יפ"ח יחד ויהיו שוין זא"ז קוי פ"י פ"ח לקוי ר"ת ר"ש רק שיהיו מעלות ההעתקה נקודת מ' מנקודת ו' לצד שמאל וכן נקודת ר' מנקודת צ'(?) לצד שמאל ונקודת פ' מנקודת ע' לצד ימין יהיה מעלות ההעתקה מנקודות האלו שוות או אם נקודות מ' ר' נעתקות לצד ימין יהיה נקודת פ' נעתק לצד שמאל יהיה גם כן שוות.

קנט

כ"ז שהקוין יוצאים מן המרכז אבל אם יוצאים מנקודה חוץ למרכז אף שהקשתות שוין בשני המקומות מעיגול ^(מ*)הגדול אין הזויות שוות כזה:

שקוי ט"י ב"י ה"י ח"י נמשכין מנקודת י' חוץ למרכז פ' וקשתות א"ב ה"ו שוין מ"מ זוית הי"ו גדול מזוית אי"ב וכן כל שמתרחק מן הרום הזוית יותר גדול עד כי במקום השפל שהוא נקודת מ' הזוית יותר גדול מכל המקומות ומהשפל עד הרום הולך ומתקצר עד כי במקום הרום הזוית יותר קטן מכל המקומות.

קס

ולידע הזוית הזה (ר"ל זוית הי"ו) בראש תדע קו היוצא מנקודת י' עד המרכז עיגול הקטן שהוא קו ח"י ותדע זה על ידי ^(נ*)משולש פי"ח כנ"ל בסימן קמ"ה וקו ה"ח ידוע וזוית ^(ס*)הי"ח גם כן ידוע אם כן שארי כמותים ממשולש הי"ח ידוע.

קסא

אופן ^(ע*)אחר אם קוי פ"י ה"ח שוין שתעריך כערך בקע זוית חפ"י אל בקע זוית פח"י כן ערך בקע זוית חה"י אל בקע זוית חי"ה וזויות חפ"י פח"י ידועים כמ"ש סימן קמ"ה אחר שידעת ערכי בקעי זוית חה"י חי"ה זא"ז וידעת שני הזויות חה"י חי"ה כמה הם ביחד כי הם כמו זוית הח"ו כמ"ש בסימן ס"ה, אם כן תדע זוית חה"י חי"ה כ"א בפני עצמו כמ"ש סימן צ"ה.

והמופת על זה שערכי הבקעים שוין זה לזה כי כערך ^(פ*)קו ח"י אל קו פ"י כן בקע זוית חפ"י אל בקע זוית פח"י כמ"ש סימן פ"ז וכערך קו ח"י אל קו ה"ח כן בקע זוית חה"י אל בקע זוית חי"ה והקוין של זה הערך שוין לקוין של זה הערך, אם כן ע"כ ערכי בקעי הזויות הנ"ל גם כן שוין. וכ"ז תוכל לידע בכל קשת מעיגול הקטן כמה הוא הזוית בכל קשת וקשת מעיגול הגדול מהרום ועד השפל וכן מהשפל עד הרום.

קסב

אם שני קוין יוצאים מן מרכז עיגול הגדול ומנקודה אחרת חוץ למרכז ועוברין על מרכז עיגול הקטן עד היקף עיגול הקטן כזה

שאם תמשוך קוי ב"ח ג"ח ממרכז ב' ומנקודת ג' עד מרכז ח' תוכל לידע קשת ז"ט בכל מעלה ומעלה מעיגול הגדול מאחר שידע קשת א"ח. וכן תדע קו ב"ג וקו ב"ח הוא חצי אלכסון תדע זוית בח"ג וזוית בח"ג זח"ט שוין ותדע שכל מה שכתבתי בנקודת חוץ למרכז מסימן ק"מ עד סימן ק"נ הוא הדין בזוית זח"ט כאן הואיל וזוית בח"ג זח"ט שוין. ומשולש בח"ג שוה למשולש אד"ב שבסימן ק"מ. וכן בזוית וח"ט שע"י קוי ב"ח ד"ח. וכן אם שני הקוין יוצאים חוץ ממרכז כמו קוי ג"ח ד"ח שעושין זוית וח"ז רק שבמשולש גח"ד צריך לחשוב קודם משולש בח"ג כדי לידע קו ח"ג כמ"ש בסימן ק"ס או אם קוי ב"ג ג"ד שוין על ידי ערכי הבקעים של הזויות כמ"ש בסימן הקודם.

ביאור - ר' שמואל מלוקניק

(א) ע"כ ארוך:    נראה בחוש ואין צריך למופת.

(ב) הוא שוה:    כי שניהם יוצאים מן המרכז אל המקיף.

(ג) שוה לקו ב"ג:    שהרי הוספת קו א"ב על שני מספרים שוין דהיינו קו א"ד וקו א"ג וכמ"ש בסימן מ"ו.

(ד) הוא שוה:    כי שניהם יוצאים מן המרכז אל המקיף.

(ה) לב' חלקים:    ר"ל שוים.

(ו) כמ"ש בסימן כ':    ר"ל שהרי כאן גם כן קו ג"ה חותך לקו א"ד וקו ב"ו המקבילין.

(ז) תחסר מהן:    הרי כשתחסר זוית גב"ד מן גב"ו ישאר דב"ו השוה לזוית אד"ב. נמצא שני הזויות גב"ד אד"ב ביחד שוין לזוית גא"ד והרי ההפרש בין גא"ד לגב"ד זוית אד"ב כנ"ל.

(ח) שהולכין הקוין:    ר"ל קו א' מהמרכז עד המקיף וקו ב' מנקודת ב' עד המקיף מקביל לקו הראשון.

(ט) לבין זוית דב"ה:    שהרי זוית דב"ה מחזיק כמו זוית דא"ב אד"ב ביחד כנ"ל.

(י) ההפרש וכו':    וכמ"ש בסימן קכ"ט רק באופן שתדע גם כן זוית גא"ד ועל ידי זה תדע השארית שהוא זוית דא"ב וכנ"ל.

(כ) כן ערך -- נ"ל שצריך לומר כך כן ערך בקע זוית אב"ט אל בקע זוית אט"ב וקו א"ט א"ב עומדים וכולי.

(ל) הוא לפי גודל:    ר"ל אם בקע אב"ט מתגדל בקע אט"ב גם כן מתגדל.

(מ) כערך:    ר"ל כן ערך בקע זוית אט"ב אל כל הבקע.

(נ) עד כל מעלה:    ר"ל שתמשוך ד"מ מן המרכז קו א"ה למעלה י' מן הרום וקו א"ו למעלה י"ג(?) וכן תמשוך מנקודת ב' קו ב"ה ב"ו.

(ס) נקודת ט':    שהוא בכאן נקודת ז'.

(ע) גדול:    ר"ל מזוית של הנקודה שחוץ למרכז.

(פ) של היוצא:    ר"ל של נקודת ב' היוצא חוץ למרכז גדול מזוית המרכז.

אמר המפרש אף שהכלל הזה הוא מובן ולמראה עיניו ישפוט הרואה אמנם מה שראיתי כי מטבע החכמה הזאת שאף בדבר קל ומוחש יתן עדו ויצדיקו בתופת שכלי, והיה גם פה אם יתעקב השואל ויאמר תנו לכם מופת, אען ואומר כי הוא זה: שים עיניך על זו הצורה [ציור] ומבואר בכלל ס"ג שכל השלושה זויות של המשולש מחזיק ק"פ מעלות. ואם כן גם כאן הג' זויות של משולש אז"ה מחזיקין ק"פ מעלות. וכן הג' זויות של משולש גז"ו וזוית בז"ו אז"ה שוין כמ"ש בסימן ס"א. אם כן אם נאמר כי זוית זב"ו שוה לזוית הא"ז -- על כרחך משולש זב"ו גדול מק"פ מעלות כי זוית זו"ב על כרחך גדול מזוית אה"ז כמ"ש בסימן קמ"ו וזה אי אפשר כנ"ל. וזה מה שרצינו לבאר. וכן מעבר הב' לנקודת ט' שזוית החילוף הולך ומתקטן כנ"ל, אם לא נאמר שזוית זב"ח גדול מזוית זא"ח, אם כן, משולש בי"ח יחזיק פחות מק"פ מעלות ואי אפשר.

(צ) החילוף:    ר"ל ההפרש בגודל.

(ק) כי קוי ח"ו ח"ה שוין:    התבוננתי והנה זה לא מעלה ולא מוריד בנידון דידן. ועיין בסימן ק"מ. והנראה כי הוא מיותר.

(ר) קוי ב"ו ג"ו שוין:    אם כן קו ח"ו עם ו"ג או עם ו"ב שוין וקו ח"ו עם ו"ג על כרחך גדול מקו ח"ג. אם כן ח"ו עם ו"ב גם כן גדול מקו ח"ג.

(ש) הוא שוה:    מאחר שקו ג"ו ו"ז שניהם יוצאים ממרכז עיגול הקטן אל המקיף אם כן נשמע בהצטרף קו ח"ז אל קו ג"ו הוא שוה לקו ח"ו ובהצטרף קו ח"ג אל קו ג"ו הוא גדול מקו ח"ו, ע"כ הוא מצד(?) קו ח"ג שגדול מקו ח"ז.

(ת) כמ"ש בסימן כ"א:    בקשתי ולא מצאתי שם כלום מזה. ואולי הוא מצוין לסימן ז' בסופו עיין שם.

(א*) ר"ל נקודת ג' מקו ו"ג יהיה נצב על קו ח"ג.

(ב*) הזוית:    ר"ל זוית גח"ו עתה בעת שהזוית חג"ו עושה זוית נצבת היא גדולה יותר ממה שהיתה עד הנה וגם ממה שעושה אחר כך..

(ג*) ערך וכולי:    דרך משל, שאלכסון הקטן הוא חצי מן אלכסון הגדול ואלכסון הגדול ידוע מדתו, אם כן ב' צלעות וזוית שביניהם ידוע גם השאר ידועים כמ"ש בסימן קל"ג.

(ד*) וזוית גח"ו:    ר"ל ולא תדע זוית בו"ג אף על פי כן תדע הנשארים.

(ה*) זוית בו"ג וכולי:    וכמ"ש בסימן קכ"ט.

(ו*) שזוית גח"ו הגדול:    ר"ל כשהוא בתכלית גדלותו דהיינו כנ"ל כשקו ו"ג משוך עד נקודת ט' ואז יהיה זוית חג"ו זוית נצבת כערך צלע ח"ו אל צלע ג"ו כן ערך בקע זוית חג"ו שהוא כל הבקע אל בקע זוית גח"ו, וכמ"ש בסימן פ"ז.

(ז*) גדול מזוית כח"ג:    שהרי כשתרחיב המחוגה מנקודת ח' עד נקודת ב' ותעשה עיגול ותמשוך גם כן קו ח"כ ח"ג עד המקיף החדש יהיה קשת ב"כ החדש שהוספתי על הציור שבפנים גדול מקשת כ"ג החדש.

(ח*) כזה שעיגול וכולי:    וליתר ביאור אציג לפניך שני המשולשין ביחד וזה צורתו [ציור].

(ט*) וקו ו"ח ת"ר שוין:    כי שניהם יוצאים ממרכז עיגול הגדול אל מקיפו.

(י*) אם זוית וח"מ וכולי:    צריך להציג ציור על כלל זה כך [ציור]

(כ*) מזה נתבאר וכולי:    צריך להציג הציור על זה הכלל כך [ציור]. הנה עיגול נר"ה נכתב כבר לעיל בסימן קנ"ו וזה העיגול אבכג"ז הוא שוה לעיגול נר"ה.

(ל*) שאם תעתיק וכו' וכן תעתיק וכו':    דהיינו שיהיה כמ"ש בסימן הקודם שיהיה זוית וח"מ שוה לזוית עמ"פ וקו ח"י יהיה דוקא שוה לחצי קוטר עיגול הקטן ולקו ת"ש שבסימן קו"ו(?). לכן אם תעמיד ראש המחוגה על נקודת י' ותרחיבהו עד נקודת ט' יעשה עיגול חדש שוה לעיגול אבכג"ז ומשולש יפ"א(?) יהיה שוה למשולש תר"ש דהנה קו י"ח ת"ש שוין. וכן י"פ ת"ר הם שוין, דהנה י"פ שוה לקו ח"מ שהם מקבילין כנ"ל בסימן הקודם, וקו ח"מ ות"ר שניהם יוצאים מהמרכז אל המקיף בעיגולים שוים, וזוית פי"ח רת"ש שוין שהם שארית זוית וי"פ וח"מ או נת"ר שהם זויות שוות כנ"ל. ואם כן כל הכמותים שוים וכולי.

(מ*) הגדול יותר -- צ"ל הקטן.

(נ*) משולש פי"ח:    ר"ל מאחר שידעת זוית אפ"ח שהרי מיירי שידעת כמה מעלות נסוג(?) מרכז ח' בעיגול הקטן מנקודת ט' בעיגול הגדול ואם כן ידעת גם כן זוית חפ"י שהיא שארית לו וקו פ"ח ידוע שהוא חצי אלכסון וקו פ"י מיירי גם כן שידוע כמ"ש בסימן קמ"ה, אם כן גם קו ח"י ידוע וקו ה"ח ידוע שהוא חצי אלכסון עיגול הקטן וזוית הח"י ידוע כנ"ל שהוא שארית פח"ו שידוע לנו כמה מעלות הועתק נקודת ה' מנקודת ו' בעיגול הקטן דמיירי בהכי כנ"ל. אם כן גם זוית הי"ו ידוע.

(ס*) וזוית הי"ח -- צ"ל וזוית הח"י.

(ע*) אופן אחר:    ר"ל לידע זוית הי"ו על ידי ערכין כדמפרש.

(פ*) כי כערך:    ר"ל דהנה יש כאן שני ערכין,

• האחד -- ^אח"י • ^בפ"י • ^גבקע חפ"י • ^דבקע פח"י
• השני הוא -- ^אח"י • ^בה"ח • ^גבקע חה"י • ^דבקע חי"ה

ושני מספרים הראשונים משני הערכין שוין דקו פ"י שוה לקו ה"ח כנ"ל ואם כן הנשארים גם כן נערכין -- ^אבקע חפ"י • ^בבקע פח"י • ^גבקע חה"י • ^דבקע חי"ה שהוא הי"ו(?).