איל משולש/מאמר עשירי

<< · איל משולש · מאמר עשירי · >>

איל משולש

שלז

כפל ערך הוא שני הערכים שנכפלים ערך האחד לערך השני ^(א)כזה 2 - 3 הוא ערך 23, 6 - 8 הוא ערך 34. תכפול שני שני(?) הערכין זה עם זה -- ^(ב)הוא ערך 612 והוא ערך 12.

שלח

אם תרצה לידע ^(ג)כפל הערך תכפול המספר הראשון עם מספר השלישי וכן תכפול מספר השני עם מספר הרביעי ותעריך מספר כפל הראשון עם מספר כפל השני והוא כפל הערך.

שלט

ערך ^(ד)הנכפל הוא שנערך כפל הערך עם ערך פשוט כזה:

2 = 3 = 6 = 8 || 5 = 10 שכל אחד הוא בערך 12.

שמ

ערך הנכפל ^(ה)תוכל להפכו על שבעים ושנים ערכין כזה:

שמא

^(ו)והיה יכול להפכו על שבעה מאות ועשרים ^(ז)אופנים רק שמספר הראשון והשלישי והשיי צריך לעמוד בבית הראשון והשלישי והששי רק שתוכל להפכו שהראשון יכול לעמוד בכל הג' בתים האלו וכן ^(ח)מספר השני יכול לעמוד באלו הג' בתים ^(ט)וכן מספר השלישי יכול לעמוד בכל הג' בתים ומספר השני והרביעי והחמישי צריך לעמוד בבית השני והרביעי והחמישי ותוכל להפכו כנ"ל. וכן מספר הראשון והשלישי והששי יכול להעמיד בבית השני והרביעי והחמישי ותוכל להפכו כנ"ל ואז צריך לעמוד מספר השני והרביעי והחמישי בבית הראשון והשלישי והששי ותוכל להפכו גם כן כנ"ל. והכלל שתחלק המספרים לשני חלקים אג"ו בד"ה וכן תחלק הבתים לשנים אג"ו בד"ה, אם יעמוד א' מאותיות חלק ראשון באחד מהבתים של חלק ראשון ^(י)אז צריך להעמיד כל חלקי מספר הראשון בבתים של חלק ראשון ומספרים של חלק השני בבתים של חלק השני ואם יעמוד א' מאותיות של חלק ראשון בא' מהבתים של חלק השני צריך להעמיד כולם בבתים של חלק השני ומספרי חלקי השניים בבתי חלק ראשון.

שמב

ומזה תדע שבזוגות הבתים כמו בשני בתים הראשונים או שני בתים השניים או שני בתים השלישים -- לא יבואו שני אותיות מחלק א' כמו מאותיות אג"ו או ב"ה. וכן בארבעה הערכים שנתבאר ^(כ)[ בסימן ל"א ] לא יבואו בזוגות הבתים לא שני אותיות הקצוות ולא שני אותיות האמצעים.

שמג

אם תכפול אותיות של הבתים אג"ו יחד וכן תכפול אותיות של הבתים בד"ה יחד יעלו שני הכפילות למספר שוה כמו בערך הראשון אם תכפול 2 עם 6 יעלה 12, תכפול עם 10 יהיה 120. וכן אם תכפול 3 עם 8 עם 5 יהיה גם כן 120. וכן בכל שבעים ושנים הערכים . ולכך צריך שיבואו כסדר שכתבתי בסימן ש"מ. וכן מזה הטעם בארבעה הערכין צריך שיבואו ב' הקצוות וב' האמצעים בסדר שנתבאר בסימן ל"א לפי שהערכים הנכפלים צריכים להיות בסדר אחד.

שמד

ומזה מבואר ששני ^(ל)גשמים או גופים ^(מ)שתשבורת מעוקביהן שוין, אם תשים ארכי הצלעות מגשם אחד בבתים של אג"ו וגשם השני בבתים של בד"ה יהיו נערכין זה אל זה כמו אם שני הגופים עולין כל אחד 1120 וצלעות של גוף אחד הוא א' 2 והב' 6 והג' 10, והגוף השני הצלעות הן הא' 3 והב' 8 והג' 5 -- ^(נ)תשים כנ"ל ^(ב)ויהיו נערכין זה אל זה.

שמה

ותדע ^(ע)שארבעה הערכין הוא על שני שטחין שוין שהצלעות נערכין זה אל זה וששה הערכין האלו הוא על שני גופים ^(פ)שהצלעות נערכין זה אל זה ובכל ערך נערכין א' מזה השטח או הגשם וא' מזה השטח או הגשם כמ"ש ^(צ)[ בסימן מ"ד ].

שמו

ואבאר טעם על כל הע"ב אופנים מערך הנכפל שהם שייכים יחד רק אקדים לך ג' הקדמות.

• הא' -- אם תהפוך המספרים של היחוס יבא היחוס מהופך כמו ערך א' לב' הוא ^(ק)בסימן 23, ערך ב' לא' 32. וכן בכפל הערכין אם תכפול ^(ר)ערך א"ב עם ערך ג"ד הוא בסי' הנ"ל 612. ואם תכפול ערך ב"א עם ערך ד"ג יהיה 126. וכן לעולם.

שמז

• הב' -- אם תכפול יחוס המספרים עם יחוס המספרים המהופכים יבא 1 כמו אם תכפול ערך א"ב שהוא 23 עם ערך ב"א שהוא 32 -- יבא 1. וכן אם תכפול ד' או ה' ^(ש)הערכין או יותר וכן הכפלים למפרע יבא 1.

שמח

• הג' -- אם יש ב' הערכים ערך א' לב' וב' לג' ותכפול ב' הערכין יחד יהיה כמו ערך א' לג' כמו ערך א"ב הוא 23 וערך ב"ג הוא 36. תכפלם יחד -- 13. ערך א' לג' הוא 26 שהוא 13. וכן ג' ערכים ^(ת)ערך א"ב ב"ג ג"ד -- אם תכפלם יחד יהיה כמו ערך א' אל ד'. וכן ד' ערכין או ה' או יותר כזה כפלת כל הערכין יחד הוא כמו ערך שני הקצוות זה אל זה.

שמט

ועתה אבאר בסדר הטעמים ערך הב' שהוא א"ב ג"ה ד"ו הואיל ובזה הערך ערך א"ב שוה ^(א*)לערך הראשון ששם גם כן מספרים א"ב -- תקח מספר א"ב משניהם נשארים המספרים הנותרים שוין ^(ב*)כמ"ש [ סימן מ"ו ] וכבר נתבאר ^(ג*)[ בסימן ל"ג ] כי ערך ד' מספרים ערך ^(ד*)ג"ה כמו ערך ד"ו.

שנ

ערך הג' שהוא א"ד ג"ב ה"ו כי בערך א"ד ^(ה*)יש ג' ערכין א"ב ב"ג ג"ד כנ"ל ^(ו*)[ בסימן שמ"ט ]. תכפול ערך ב"ג עם ערך ג"ב -- יבא 1(?). תשליך אותו ישאר א"ב ג"ד ולפיכך הוא שוה לערך ה"ו.

שנא

ערך הד' שהוא א"ד ג"ה ב"ו הוא מתהפך עם ערך הקודם כנ"ל בסימן.

שנב

ערך הו' שהוא א"ה ג"ד ב"ו הוא מתהפך עם ערך הראשון הואיל ושניהם ערך ג"ד ^(ז*)הוא שוה כנ"ל וערך החמישי הוא מתהפך עם ערך הו' כנ"ל.

שנג

ערך הז' הוא מתהפך עם ערך הא' כמ"ש ^(ח*)[ סימן שמ"ט ] הואיל ובשניהן ערך א"ב שוה. וכן ערך הח' מתהפך כנ"ל. וערך הט' והי' עם ערך הג'. וערך הי"א והי"ב עם ערך הה'.

שנד

ערך הי"ג (שהוא ב"א ד"ג ו"ה) הוא היפוך ערך הראשון ^(ט*)כנ"ל [ סימן ל"ב ]. וכן תוכל למצא טעם על כל הע"ב אופנים וטעמים הנ"ל.

שנה

ערך הכפל שנערך כפל מספר א' לכפל מספר שני כזה 2 = 6 = 3 = 8 -- הוא ערך 1224 והוא ערך 12.

שנו

ערך המוכפל הוא ^(י*)שכערך ערך הכפל אל ערך הפשוט כזה ^א2 = ^ב6 = ^ג3 = ^ד8 || ^ה5 = ^ו10 שכל אחד הוא ביחוס חצי כנ"ל ותוכל להפכו גם כן על שבעים ושנים ערכין הכל על אופן זה רק בסדר אחר כזה:

[טבלה]

שנז

ויוכל להפוך על שבעה מאות ועשרים אופנים רק צריך לסדר ^(כ*)כנ"ל [ בסימן שמ"א ] רק שכאן צריך לחלק המספרים והבתים על שני חלקים אב"ו גד"ה וצריך להעמיד המספרים אב"ו בחלק אחד מהבתים ומספרי גד"ה בחלק הב' מהבתים כנ"ל בסימן ?? אצל אג"ו בד"ה, ומזה תדע שבזוג הראשון והשני מהבתים יבא בכל זוג שני אותיות ^(ל*)מחלק א' מהמספרים ובזוג השלישי מהבתים לא יבואו רק אות א' מחלק א' ואות השני מחלק השני.

שנח

אם ^(מ*)תכפול אותיות של הבתים אב"ו יחד וכן תכפול יחד אותיות של הבתים גד"ה יחד יהיו שני הכפילות שוין בכל הע"ב אופנים. ולפיכך לא יבואו האותיות אב"ו גד"ה כ"א רק בחלק הא' מהבתים.

שנט

ומזה מבואר ששני גופים שתשבורת מעוקביהם הם שוים, אם ^(נ*)תסיר השטח האחד וצלע השלישי מגוף אחד בקצוות ושטח אחד וצלע הג' מגוף השני באמצע יהיו נערכין זה אל זה כנ"ל בסימן שמ"ד שתשבורת שני הגופים הם 120 וצלעות הגוף האחד הן האחד 2 והשני 6 והשלישי 10. ומהשני הא' 3 והב' 8 והג' 5. אם תשים שטח מגוף הראשון בקצה הראשון כזה 2 || 6 וצלע השלישי בקצה השני כזה 10 ושטח השני וצלע השלישי מהשני באמצע כזה 3 = 8 = 5 יהיו נערכין.

שס

ותדע שערך הנכפל הוא על שני ^(ס*)גופים שוים שנערכין צלעות של גוף אחד לצלעות של גוף השי וערך המוכפל הוא על שני גופין שוין שהשטחין והגובה שם גשם אחד נערכין לשטח וגובה של גוף השני ותוכל לעשות איזה צלעות שתרצה לשטח או אורך ורוחב או אורך וגובה או רוחב וגובה וכמות הג' לגובה.

שסא

אם א' מהששה מספרים מערך הנכפל הוא נעלם אם א' משני מספרים הראשונים הוא נעלם תחלק ערך השלישי עם ערך השני כזה ^(ע*)שתחלק ערך השלישי שהוא 34 ויהיה 23 והוא ערך הא'. ואם מספר הא' הוא נעלם ^(פ*)תכפול הערך הזה עם מספר הב' ויהיה מספר הראשון. ואם מספר השני הוא נעלם תחלק ^(צ*)מספר הראשון עם ערך הראשון ויעלה מספר השני. וכן אם השני מספרים האמצעים הוא נעלם תחלק ^(ק*)ערך השלישי עם ערך הראשון ויצא ערך השני. ואם מספר השלישי הוא נעלם ^(ר*)תכפול הערך הזה עם מספר הרביעי. ואם מספר הרביעי הוא נעלם ^(ש*)תחלק מספר הג' עם נערך השני. ואם א' משני מספרים האחרונים הוא נעלם -- ^(ת*)תכפול ערך הראשון עם ערך השני ויצא ערך השלישי. ואם מספר החמישי הוא נעלם -- ^(*א)תכפול ערך השלישי עם מספר הששי. ואם מספר הששי הוא נעלם תחלק ^(*ב)מספר הששי עם ערך השלישי ויצא לך מספר הששי.

שסב

ותוכל להפוך שתחלק במקום שצריך לכפול שתהפך א' משני הערכין והוא יהיה מספר המחולק והשני יהיה מספר המחלק כמו שתרצה לכפול ערך הראשו שהוא 23 עם ערך השני שהוא 34 שיבא לך 12 תהפך ערך הראשון כזה 32 ^(*ג)ותחלקהו עם 34 ויצא 12 או שתהפך ערך השני כזה 43 ותחלקהו עם 23 יצא גם כן 12. וכן תוכל לעשות בכל מספרים הנכפלין. וכן תוכל להפוך שתכפול בכ"מ שצריך לחלק כמו שתרצה לחלק ערך הג' שהוא 12 עם ערך השני שהוא 34 שיבא 23 תהפך מספר המחלק כזה 43 ותכפול אותו עם מספר המחולק שהוא 12 ויצא לך 23. וכן תוכל לעשות בכל מספרים הנחלקין ובעבור שהכפל הוא יותר קל מהחלוק ע"כ תהפוך כל מספרים שבסימן הקודם ותעשה הכל עם הכפל.

שסג

אופן אחר אם א' מהאותיות ^(*ד)אב"ו נעלם תכפול מספרים בד"ה יחד ותחלקהו על כפל הנשאר מהמספרים אב"ו. וכן להפך אם א' מאותיות בד"ה הוא נעלם תכפול המספרים אב"ו יחד ותחלק על כפל הנשארים מן בד"ה כמו אם מספר הא' נעלם ^(*ה)תכפול כזה 3•8•5 ויעלה 120. ^(*ו)תחלקהו על 3•10 ויצא 2. וכן בשאר הערכין.

שסד

וכן בערך המוכפל אם אחד מאותיות אב"ו נעלם תכפול מספר גד"ה יחד ותחלקהו על כפל הנשארים ממספרים אב"ו. וכן להפך אם אחד מהמספרים גד"ה נעלם כנ"ל בסימן הקודם ^(*ז)ואם תרצה לעשות עם כפל וחלוק כנ"ל [ בסימן שס"ב ] תעשה מאותיות א"ג ערך וכן מאותיות ב"ד אחר כך תעשה כמו בשני הסימנים הנ"ל.

שסה

כל מה שכתבתי בד' הערכין מסימן ל"א ועד סימן מ"ו הוא נוהג גם כן בערך המוכפל אם ^(*ח)תחשוב כל ערך הכפל וערך פשוט וכן ^(*ט)בערך הנכפל אם תכפול מספר הא' עם מספר הג'. וכן תכפול מספר הב' עם מספר הד' ותשיב את המספרים לערך המוכפל. וכן בכל הע"ב אופנים תוכל לעשות כן ^(*י)כערך הנכפל לערך מוכפל.

שסו

אם בערך הנכפל יש שני מספרים דומין והם א' במספרים אג"ו והב' במספרים בד"ה תשליך המספרים השוין ויהיו הנותרים נערכין זה אל זה בארבעה הערכין רק שתשים הנותרים מחלק א' ^(*כ)כמו אב"ו או בד"ה בקצוות ומחלק השני באמצע. דרך משל אם הערך הוא 2=3=3=4 || 5=10 תשליך שני מספרים 3.3(?) ויהיו הנשארים נערכין 2=4 || 5=10.

שסז

והמופת על זה אחרי שערך הנכפל ^(*ל)הוא על גופין שוין ואחרי שבכל גוף ^(*מ)יש צלע שוה להגוף חברו תשליך שני הצלעות השוין נשארין שני השטחין שוין כמ"ש סימן מ"ו והן נערכין זה אל זה כמ"ש [ סימן מ"ד ].

שסח

ואף שאין בהן מספרים השוים תוכל לעשות שיהיו בהן כמו בערך הנ"ל בסימן ?? 2=3=6=8 || 5=10 ואתה רוצה לעשות ממספר 6 מספר 3 -- ^(*נ)תחלק מספר 6 עם 3 ויצא מספר 2. תחלק עם 2 כל הערך של 6=8 ויצא 3=4. וכן אם אתה רוצה לעשות ממספר 8 מספר 2 תחלק 8 עם 2 יצא 4 ^(*ס)תחלק כל הערך 6=8 עם 4 ויהיה 1/ 1=2 (?) וכן בשאר המספרים. והמופת על זה נתבאר בסימן מ"ו ששני מספרים שוין אם תכפלם או תחלקם במספר שוה כנתבאר שם.

שסט

וכן בערך המוכפל אם יש בהם מספרים שוים תשליך כנ"ל ויהיו נערכין רק שיהיה א' באותיות אב"ו והב' ^(*ע)באותיות בד"ה ואף אם אין בהם מספרים שוים תוכל לעשות מספרים שוים אם תרצה לעשות בשני מספרים האחרונים תעשה ^(*פ)כמו בסימן הקודם ואם בארבעה הראשונים תחלק מספר הישן עם מספר החדש ומה שיצא תכפול עם ^(*צ)מספר הנכפל עמו כמו בערך הנ"ל בסימן ?? 2 • 6 = 3 • 8 || 5 = 10 ותרצה לעשות ממספר 6 מספר 3 תחלק 6 עם 3 ויצא 2 תכפול 2 עם 2 ויצא 4. תשים במקום 2 • 6 מספר 4 • 3 או אם תרצה במקום 8 לעשות 2 תחלק 8 עם 2 ויצא 4. תכפול 4 עם 3 ויצא 12. תשים במקום 3 • 8 מספר 12 • 2. כל זה אם תרצה לעשות ממספר גדול מספר קטן. אבל אם תרצה לעשות ממספר קטן מספר גדול כמו שתרצה לעשות ^(*ק)מן 63 -- תחלק 6 עם 3 ויצא 2 ותחלק עמו את מספר 8 ויצא 4. תשים כנ"ל כזה 6 • 4 וכן בשאר וכן בערך הנכפל תחלק מספר החדש עם מספר הישן ומה שיצא תכפול את כל הערך. דרך משל שתרצה לעשות מערך הנ"ל ^(*ר)בסימן [ הקודם ] מן 63 תחלק כנ"ל ויצא 2 תכפול כל הערך 2 = 3 עם 2 ^(*ש)ויצא 4 = 6.

ביאור - ר' שמואל מלוקניק

(א) כזה וכו':    ר"ל מספר 2 נגד 3 הוא 23 ומספר 6 נגד 8 הוא 34. תכפול 23 פעמים 34 -- הוא 12.

(ב) הוא ערך 612:    דכל מספר כזה צריך אתה לחשוב כך, הנה מספר הכופל הוא 23, תחשוב 2 פעם 3 -- הוא 6. תציגו למעלה ומספר הנכפל הוא 34, הוא 3 פעם 4. עולה 12. תציגו למטה ונמצא 612. וכן כל כיוצא בזה דהיינו ששני אותיות האמצעים שוים כנ"ל 3 - 3 וכדומה.

(ג) כפל הערך:    ר"ל כדומה מספרים הנ"ל בסימן הקודם 2 . 3 . 6 . 8 ותרצה לידע כמה עולה כפל ערך שלהם, תכפול 2 עם 6 -- הוא 12. 3 עם 8 -- הוא 24. תעריך 12 נגד 24 -- הוא חצי והוא כפל הערך כנ"ל בסימן הקודם.

(ד) ערך הנכפל:    ר"ל שתעמיד ד' מספרים של כפל ערך הנ"ל בסימן של"ז ועוד תוסיף עליהם ערך פשוט הדומה להם בערך 12 ויהיה ו' מספרים כמ"ש בפנים.

(ה) תוכל להפכו וכו':    מונה והולך כאן ע"ב שורות ובכל שורה ו' אותיות מא' עד ו' בחלוף סדרן וכל אות מורה על המספר שתחתיה בסימן של"ט ור"ל שנוכל להציג הו' מספרים שבסימן הנ"ל ולהפך סדרן על שבעים ושנים אופנים ובכל אופן יהיה ערך הנכפל. כיצד? שורה ראשונה מורה שהו' מספרים כסדרן כמו שמסודרין בסימן של"ט הנ"ל ושורה שניה המספרים הם כזה ^א2 - ^ב3 - ^ג6 - ^ד5 || ^ה8 - ^ו10. ונאמר כמה מספר 2 נגד 3 -- 23, ומספר 6 נגד 5 הוא 65. תכפלם, 23 פעם 65 -- הוא 45. וכן ערך הפשוט של 8 נגד 10, הוא ד' חומשין. וכן כל השורות. צא וחשוב.

(ו) והיה יכול להפכו על שבעה מאות ועשרים אופנים:    ר"ל כי כ"כ צירופים יש בששה אותיות א' ב' ג' ד' ה' ו' כמו שאציג [טבלה]

והן כ"ד צירופים מתחילין א"ב. וכן תעשה דוגמתן כ"ד צירופים מתחיל א"ג. וכן כ"ד מתחילין א"ד. וכן כ"ד מתחילין א"ה. וכן כ"ד מתחילין א"ו. סך הכל מתחילין באות א' ק"כ. ודוגמתן ק"כ מתחילין באות ב'. וכן בג' ובד' ובה' ובו'. סך הכל תש"ך אופנים.

(ז) אופנים:    הכלל בצירופים הוא אם תרצה לידע כמה צירופים הוא באיזה תיבה תכפול מנין אותיות שבה עם מספר הצירופים היוצאים מהתיבה בגרעון אות א'. כגון תיבה בת ב' אותיות -- בו ב' צירופים. ובת ג' תכפול ג' עם ב' ויהיה ו'. ובת ד' תכפול ד' עם ו' ויהיו כ"ד. ובת ה' תכפול ה' עם כ"ד יהיו ק"כ. ובת ששה תכפול ו' עם ק"כ יהיה תש"ך כמו כאן. וכן לעולם (

(ח) וכן מספר השני:    ר"ל השני מסימן אג"ו דהיינו מספר ג'.

(ט) וכן מספר השלישי:    ר"ל מספר ו'.

(י) אז צריך להעמיד וכו':    ומפני זאת הסבה שכתב שאינו נערך כ"א שיעמיד אג"ו באחד מג' בחי(?) אג"ו ובד"ה בא' מג' בת (?) בד"ה או להיפך לפיכך אינם כ"א ע"ב ערכין דהנה אג"ו יכול אתה להפך ו' פעמים כזה -- אגו . אוג . גאו . גוא . ואג . וגא. וכן בד"ה ו' פעמים כזה -- בדה . בהד . דבה . דהב . הבד . הדב. והנה אתה יכול להציג אג"ו בבתי אג"ו עם כל אחד מו' צירופי בד"ה שבבתי בד"ה. וכן אתה יכול להציג או"ג בבתי אג"ו עם כל אחד מו' צירופי בד"ה שבבתי בד"ה. וכן כל צירופי אג"ו. ונמצא ששה פעמים ששה הוא ל"ו. ועוד תוכל להפוך לגמרי בד"ה בבתי או"ג ואו"ג בבתי בד"ה ויהיה עוד ל"ו צירופים. והן הנה הע"ב ערכין הנ"ל בסימן של"ט.

(כ) שנתבאר בסימן:    צ"ל בסימן ל"א.

(ל) גשמים:    עיין לעיל סימן א.

(מ) שתשבורת מעוקביהן:    ר"ל ??? קו האורך(?) וקו הרוחב וקו הגובה יחד. ועיין לקמן סימן ש"ע.

(נ) תשים כנ"ל:    ר"ל בסימן של"ט.

(ס) ויהיו נערכין זא"ז:    וזה מבואר מסימן הקודם דכ' שמספרים הנערכים עולה שני הכפילות שוה, אם כן בהפך נמי אם ידוע שהכפלות שוין ע"כ המספרים נערכים.

(ע) שארבעה הערכין:    ר"ל המבוארים בסימן ל"א.

(פ) שהצלעות נערכין:    אולי ר"ל ב' הצלעות של כ"א ביחד כמו 2 - 6 הוא 12, 3 - 8 הוא 24. אם כן שטח הא' נגד השני כמו 5 - 10 ויהיה אם כן בארבעה הערכין הצלעות נערכין ובששה הערכין השטחים נערכין.

(צ) כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן מ"ד.

(ק) הוא בסימן:    צ"ל הוא בסימן של"ט.

(ר) ערך א"ב וכו':    ר"ל 23 פעם 68 הוא 612.

(ש) ד' או ה' הערכין:    דרך משל 23 פעם 36 הוא 618 כנ"ל בסימן של"ז ס"ק ב. 618 פעם 68 הוא 10848. 10848 פעם 85 הוא 518440. זהו חישוב הערכין כסדר ובהיפוך הוא כזה: 63 פעם 32 הוא 186. 86 פעם 186 הוא 48108. 58 פעם 48108 הוא 405184. תכפלם דהיינו 405184 פעם 518440 הוא 1. זהו הפירוש על ה' ערכין. וכן פחות או יותר תחשוב כמו כן.

(ת) ערך א"ב ב"ג ג"ד:    ר"ל 23 36 68 תאמר 23 פעם 36 הוא 26. 26 פעם 68 הוא 28. וכן ערך א' אל ד' הוא 28.

(א*) שוה לערך הראשון:    דהנה ערך הראשון הוא 2 . 3 . 6 . 8 . 5 . 10, וערך השני הוא 2 . 3 . 6 . 5 . 8 . 10 . וכשתסיר מכל אחד ב' מספרים הראשונים נשאר מכל אחד ד' מספרים ונערכין כך -- ערך 68 נגד 510 הוא שוה כמו 65 נגד 810.

(ב*) כמ"ש בסימן:    צ"ל סימן מ"ו.

(ג*) בסימן:    צ"ל בסימן ל"ג.

(ד*) ערך ג"ה:    ר"ל שבערך הראשון הוא כמו ערך ד"ו דשם לפיכך הוא בערך השני 6 . 5 . 8 . 10.

(ה*) יש ג' מיני ערכין:    ר"ל כי ערך א' לד' הוא כמו כפלת ג' הערכין א"ב ב"ג ג"ד כמש"ש, אם כן הוא כסדר הזה -- ^א2 ^ב3 . ^ב3 ^ג6 . ^ג6 ^ד8 . ^ג6 ^ב3 . ^ה5 ^ו10. תכפלם כך 23 פעם 36 הוא 26. 26 פעם 68 הוא 28. 28 פעם 63 הוא 12, כמו 5 אל 10. וכן אם תכפול ב"ג עם ג"ב ותסירנו ישאר גם כן הערך כך.

(ו*) כנ"ל בסימן:    צ"ל בסימן שמ"ט.

(ז*) הוא שוה:    ואם כן נשאר [כאן לא הבנתי מה כתוב -- ויקיעורך] ונערך הא' אל הג' והב' אל הד' ונעשה א"ה ב"ו. וכן כולם על פי כללי הערכין המבוארים מסימן ל"א ואילך.

(ח*) כמ"ש סימן:    צ"ל סימן שמ"ט.

(ט*) כנ"ל סימן:    צ"ל סימן ל"ב.

(י*) שכערך:    צ"ל שנערך.

(כ*) כנ"ל בסימן:    צ"ל בסימן שמ"א.

(ל*) מחלק א' מהמספרים:    ר"ל אב"ו או גד"ה.

(מ*) אם תכפול:    דרך משל בערך הראשון תכפול 2 עם 6 עם 10 -- שוה לכפלת 3 עם 8 עם 5. וכן בכל הערכין.

(נ*) אם תסיר וכו':    צ"ל אם תשים השטח מגוף הא' בקצה הא' וצלע השלישי בקצה השני ושטח השני וצלע השלישי מהשני באמצע יהיו נערכין וכולי.

(ס*) על שני אופנים שוין:    ר"ל המבוארים בסימן שמ"ה או שצלע של זה נערך לצלע של זה או שני צלעות מזה לשני צלעות מזה.

(ע*) שתחלק ערך השלישי:    צ"ל שתחלק ערך השלישי שהוא 12 עם ערך השני שהוא 34 ויהיה 23 וכולי. דרך משל מספר י"ב החצי ממנו הוא 6. ג' רבעיות ממנו הוא 9. תחלק ששה על ט' חלקים -- יבא לכל חלק 23 מן אחד. אחר כך מצאתי כן בכתבי יד הגאון.

(פ*) תכפול וכו':    ר"ל ג' פעמים ב' שלישים הוא ב'.

(צ*) תחלק מספר הראשון:    ר"ל הב' תחלק על ב' שלישים ויצא לך ג' פעמים ב' שלישים והנה לך מספר ג'.

(ק*) תחלק ערך השלישי עם ערך הראשון:    ר"ל דרך משל מספר י"ב כנ"ל -- 12 הוא 6. 23 ממנו הוא 8. תחלק ו' על ח' חלקים ויצא 34 מאחד.

(ר*) תכפול וכו' עם מספר הרביעי:    ר"ל 34 פעם 8 הוא 6.

(ש*) תחלק מספר הג' עם הערך השני:    ר"ל כמה פעמים 34 מן אחד תמצא תמצא בתוך 6 -- הוא 8.

(ת*) תכפול ערך הראשון:    ר"ל 23 פעם 34 הוא 12.

(*א) תכפול ערך השלישי:    ר"ל 12 פעם 10 הוא 5.

(*ב) תחלק מספר הששי:    אולי צ"ל תחלק מספר החמישי עם ערך השלישי וכו' על חצי והוא 10 חצאים.

(*ג) ותחלקהו עם 34 וכו':    ר"ל כי 34 הוא 6/4, אם כן 34 הוא החצי ממנו. וכן ההיפוך השני.

(*ד) אב"ו נעלם:    צ"ל אג"ו. וכן בכל הסימן הזה צ"ל אג"ו במקום אב"ו.

(*ה) תכפול כזה:    ר"ל ג' פעמים ח' הוא 24. כ"ד פעמים ה' הוא 120.

(*ו) תחלקהו על 3 . 10:    צ"ל על 6 . 10.

(*ז) ואם תרצה לעשות עם כפל וחילוק:    ר"ל אם יהיה מספר אחד נעלם בערך המוכפל ותרצה לדעת אותו על ידי כפל וחילוק כמו שכתוב בסימן שס"ב -- תעשה מאותיות א"ג ערך וכולי. ר"ל דהנה ערך המוכפל סידורו כך -- 2 . 6 . 3 . 8 . 5 . 10. וערך הנכפל סידורו כך -- 2 . 3 . 6 . 8 . 5 . 10. לכן אם תעשה בערך המוכפל מאותיות א"ג ערך דהיינו 2 . 6 ומאותיות ב"ד ערך דהיינו 6 . 8 -- אם כן יהיה סדורו כערך הנכפל ותעשה ??? ??? הסימנים הנ"ל.

(*ח) אם תחשוב כל הערך:    ר"ל 2 . 6 תציג 12. ומן 3 . 8 תציג 24. הרי שני מספרים. ותציג עוד הערך הפשוט והוא 5 . 10 ויהיה כזה 12 . 24 . 5 . 10, ואם כן תוכל לעשות בם ככל הכתוב מסימן ל"א עד מ"ו.

(*ט) וכן בערך הנכפל:    ר"ל אם תכפול הא' עם הג' יהיה 12. והב' עם הד' יהיה 24. אם כן תשיב את המספרים לערך מוכפל ממש וכשתציג 5 . 10 יהיה גם כן כנ"ל.

(*י) כערך הנכפל לערך מוכפל:    צ"ל בערך הנכפל לערך מוכפל. כגון ^א2 . ^ד8 . ^ו10 . ^ה5 . ^ב3 . ^ג6 -- הנה 2 . 10 הוא 20. 8 . 5 הוא 40. ויהיה כזה 20 . 40 . 5 . 10.

(*כ) כמו אב"ו:    צ"ל אג"ו.

(*ל) הוא על גופין שוין:    ר"ל כמ"ש בסימן שמ"ד ושאחריו.

(*מ) יש צלע שוה:    ר"ל כמ"ש בסימן הקודם שגוף אחד צלע אחד הוא 2 וצלע הב' הוא 3 וצלע הג' הוא 10. סך הכל 60. וגוף השני צלע ראשון הוא 3, והשני 4, והשלישי 5. סך הכל גם כן 60. אם כן צלע 3 שוה בשני הגופים. תשליך וכולי נשארים שני השטחין שוין. ר"ל תהפוך הגוף על צדו ויהיה השטח צלע א' 2 והשני 10 והגוף השני צלעו הא' 4 והשני 5 והשטחין שוין כ"א 20 וצלעותיהן נערכין כמ"ש סימן מ"ד.

(*נ) תחלק מספר 6 עם 3:    ר"ל עם מספר החדש שרצה כעת להציג ויצא 2. תחלק עם 2 הקדש כל הערך של 6 - 8 והוא 3 . 4.

(*ס) תחלק וכו' עם 4:    נ"ל שר"ל שאם תחלק עוד ערך 6 . 8 במספר 4 החדש יהיה 12 1 = 2(?) ר"ל א' וחצי חצאין דהיינו חצי אחד וחצי מן החצי. אם כן יהיה סדר הערך כך 2 . 3 . 11 . 2 . 5 . 10 והוא גם כן ערך הנכפל.

(*ע) באותיות בד"ה:    צ"ל גד"ה.

(*פ) תעשה כמו בסימן הקודם:    ר"ל אם תרצה שיהיה בשני מספרים האחרונים מספר השוה למספר אחר שבערך תעשה כנ"ל דרך משל שתרצה שיהיה בו 2 -- תחלק מספר 5 עם 2. יצא 2 וחצי. תחלק מספר 5 על 2 וחצי -- יצא 2. עוד תחלק מספר 10 על 2 וחצי -- יצא 4. אם כן יהיה כך 2 . 6 . 3 . 8 . 2 . 4. תסיר מספרי 2 . 2 הדומות -- יהיו ד' מספרים הנשארים נערכין כזה 6 . 3 . 8 . 4.

(*צ) מספר הנכפל עמו:    ר"ל עם המספר הקודם לו ומה שיצא מן(?) הכפלה תציג במקום מספר הקודם ובמקום מספר הישן תציג מספר החדש ויהיו נערכין.

(*ק) מן 63:    ר"ל מן 3 תרצה לעשות 6. וכן לקמן.

(*ר) הנ"ל בשי':    צ"ל בסימן הקודם.

(*ש) ויצא 4 . 6:    ואם כן יהיה הערך כך 4 . 6 . 6 . 8 . 5 . 10. תסיר ב' מספרים הדומים דהיינו 6.6 -- ישאר 4 . 8 . 5 . 10. ונערכין כנ"ל. וכן בכל מספר ממספריו.