ביאור:מעומד/חול/מדע/איל משולש/מאמר שני

איל משולש - מאמר שני: יחסים מספריים

כ"ט - שברים

יחוס שבר הוא מספר המיוחס למספר המחלק את המספר אחד, כמו: ^(א)חצי שליש רביע תבנית:Frac, תבנית:Frac, תבנית:Frac.

ל' - ערך מצומצם של שבר

ערך הוא מספר הנערך למספר אחר, כמו: מספר 2 למספר 4 - הוא חצי, ומספר 2 למספר 6 הוא שליש תבנית:Frac.

ל"א - שוויון שברים שצמצומם שווה

ב' דברים שני שברים הרשומים באופן שונה זה מזה בערך אחד אך עם צמצומם מקבלים את אותו הערך - הוא הם שני ערכים שוים שני שברים בעלי ערך שווה.

כמו: ערך 2 אל 4, כערך 3 אל 6! - שכל אחד הוא ביחוס: חצי.

ל"ב-ל"ה - יחס בין מספרים

כלומר: בשברים אשר ניתן לצמצמם לשבר מצומצם זהה:
א. היחס בין המונה למכנה זהה בשני השברים
ב. היחס בין המונים בשני השברים - שווה ליחס בין המכנים בשני השברים
ג. גם היחס בין המכנה למונה (כמו זה בין המונה למכנה) זהה בשני השברים. כלומר: ניתן להפוך את המונה והמכנה בשני השברים, ועדיין היחס בין המונה למכנה יהיה זהה בשני השברים.
ד. גם אם הופכים את סדר השברים הנבדקים, היחס בין המונים של שני השברים זהה ליחס בין המכנים של שני השברים

---

בסעיף ל"ו מדובר בשני צמדי שברים, כל צמד בנוי משני שברים המצטצמים לערך אחד
צמד שברים א: a11/a12 = a21/a22 = value1
צמד שברים ב: b11/b12 = b21/b22 = val2
במקרה מיוחד זה "המספרים האמצעיים שווים" כלומר המכנים של השבר הראשון בשני הצמדים זהים, וגם המונים של השבר השני בשני הצמדים זהים:
a12 = b12 = x וגם a21 = b21 = y
מתקבל: a11/x = y/a22 וגם b11/x=y/b22
התוצאה:
א. a11/b11=b22/a22, ב. a11/b22=b11/a22,
ג' ו-ד. היפוך המונה והמכנה של א' ו-ב' שומר על אותו היחס.
כמו כן בתוך כל צמד יש את ארבעת היחסים שנאמרו קודם:
ה. היחס בין המונה למכנה בכל שבר נשמר, ו. היחס שבין שני המונים זהה ליחס בין שני המכנים, ז' ו-ח'. היחסים נשמרים גם אחרי היפוכם של שני השברים.

בהמשך הסעיף מדובר על מקרה בו "המספרים הקיצוניים" שווים - כלומר: המונים של השבר הראשון זהים בשני הצמדים, וכך גם המכנים של השבר השני בשני הצמדים.

ל"ב: כל כל שני שברים שתחת ערך א' המצטמצמים שניהם לערך זהה כמו כמו בדוגמה הבאה בה השברים מצטמצים לחצי:

${\frac {5_{(\gimel )}}{10_{(\daleth )}}}={\frac {2_{(\aleph )}}{4_{(\beth )}}}$

ערך מספר ב' ל-א', כמו ערך ד' ל-ג'.

ל"ג: וכן ערך א' ל-ג'^(ב) כמו ב' ל-ד'.

ל"ד: וכן ערך ג' ל-א' כמו ד' ל-ב'.

ל"ה: ותוכל להפוך עוד הערכין על ארבע אופנים^(ג)

רק הכלל יהיה בידיך: שתשים שני הקצוות ערכי המכנה - בקצוות הערך, ושני האמצעים ערכי המונה - באמצע

או: שני הקצוות ערכי המכנה - באמצע במקומו של ערך המונה, והאמצעים - בקצוות.

יחסים מספריים במערכות שברים

ל"ו - יחס בין שברים

שני הערכים שני צמדי שברים, צמד א' ששני שבריו מצטמצמים לערך א', וצמד ב' ששני שבריו מצטמצמים לערך ב' ששני המספרים האמצעים המכנה של השבר הראשון והמונה של השבר השני של זה בצמד הראשון שוים לשל זה זהים לאלו של הצמד השני, במקרה זה 4 במכנה של השבר הראשון ו-3 במונה של השבר השני. ראו הערה משמאל^(ד), כזה:

312 : 14     |     36 : 24

מספרים הנשארים התוצאה של השוואת היחס בין המונה והמכנה האחרים - המונה של השבר הראשון והמכנה של השבר השני, בכל אחד מהצמדים נערכין זה אל זה היחס בין המספרים מהצמד הראשון זהה ליחס בין המספרים מהצמד השני ובתנאי ש...^(ה),

רק שתשים שני המספרים הזהים - כלומר את המכנה של השבר הראשון והמונה של השבר השני... מערך א' מתוך צמד שברים א' בקצוות אחד במונה ואחד במכנה כמו שתרצה לפי איזה סדר שתרצה

והשנֵי מספרים ושני המספרים הזהים - שוב, המכנה של השבר הראשון והמונה של השבר השני, אך הפעם... מערך השני מצמד שברים ב' - באמצע אחד במונה ואחד במכנה, גם כן - כמו שתרצה באיזה סדר שתרצה.

ותוכל להפוך הערכין על שמונה אופנים ישנם שמונה סידורי צירוף שונים של ארבעת השברים הללו - השומרים על יחס קבוע בין המספרים - כנ"ל כפי שנאמר לעיל הד' אופנים לגבי ארבעת הדרכים בהם נשמר יחס זהה בין חלקים של שני שברים זהים.

וכן אם שני הקצוות^(ו) של זה שוים לשל זה -- מספרים האמצעים נערכין זה אל זה כנ"ל בסימן הקודם.

ל"ז,ל"ח - זהות יחסי חלקי השבר עם הפרש המכנה מהמונה בשני שברים

ל"ז: ד' מספרים שתחת הערך 4 מספרים היוצרים שני שברים - בעלי ערך אחד (שניתן לצמצמם לערך אחד) --

אם תגרע מספר האחד מן מספר ה-ב',

וכן תגרע מספר ה-ג' ממספר ה-ד' --

יהיו: כערך היחס של הנותר ממספרים הראשונים ההפרש המכנה למונה של השבר הראשון - למספר ה-א' למונה של השבר הראשון,

- כן ערך הנותר ממספרים השניים ההפרש בין המכנה למונה של השבר השני - למספר הג' למונה של השבר השני

דרך משל: 68 = 34

תגרע 3 מן 4, נשאר 1.

וכן תגרע 6 מן 8, ישאר 2.

יהיה נערך 62 = 31.

ל"ח: וכן כערך הנותר הראשון למספר ה-ב' למכנה של השבר הראשון

- כן ערך היחס בין הנותר השני ההפרש בין המכנה למונה של השבר השני למספר ה-ד' למכנה של השבר השני

כזה: 82 | 41

ל"ט,מ' - זהות יחס חלקי השבר עם תוצאת חיבור המונה למכנה בשני שברים בעלי ערך זהה

ל"ט: ד' מספרים של הערך 4 מספרים היוצרים שני שברים - בעלי ערך אחד (שניתן לצמצמם לערך אחד):

אם תחבר שני המספרים הראשונים את המונה והמכנה של השבר הראשון יחד

וכן תחבר שני מספרים האחרונים את המונה והמכנה של השבר השני יחד

כערך החבור הראשון תוצאת חיבור המונה והמכנה של השבר הראשון אל מספר הראשון המונה של השבר הראשון,

כן ערך חבור השני תוצאת חיבור המונה והמכנה של השבר השני אל מספר השלישי המונה של השבר השני.

דרך משל שהערך אם הערך הוא - 34 = 68.

יהיה הרי שהישמר היחס 37 = 614

מ': וכן כערך חבור הראשון חיבור המונה והמכנה של השבר הראשון אל מספר השני המכנה של השבר הראשון

- כן ערך חבור השני חיבור המונה והמכנה של השבר השני אל מספר הרביעי המכנה של השבר השני...

כזה לפי אותו צמד ערכים קודם של שלושה רבעים: 47 = 814

מ"א - זהות יחס חיבורי המונה והמכנה להפרשי המכנה מהמונה בשני שברים בעלי ערך זהה

וכן אם תחבר כנ"ל ותגרע גם כן כנ"ל^(ז)

יהיה כערך חבור הראשון תוצאת חבור המונה והמכנה של השבר הראשון אל גרעון הראשון הפרש המכנה מהמונה של השבר הראשון,

- כן ערך חבור השני אל גרעון השני כזה:

17 = 142

מ"ב - זהות תוצאת החלוקה של שני שברים בעלי ערך זהה

אם תחלק מספר הראשון עם מספר השני^(ח)

- שוה לכאשר תחלק מספר השלישי עם מספר הרביעי.

כזה: 34 שוה אל 68.

מ"ג - זהות מכפלת המונה האחד במכנה השני של שני שברים בעלי ערך זהה

אם תכפול מספר ה-א' עם מספר ה-ד'^(ט)

שוה עם כָּפַלְתָּ מספר ה-ב' עם ג' כזה

46 , 312

כפלת שני הקצוות הוא 12, וכן הוא כפלת שני האמצעים יחד.

השוואת שטחים שצלעותיהם גדולים ביחס ישר זה מזה

מ"ד - השוואת שני שטחים שהאחד צלעותיו גדולות מהשני ביחס ישר

ומכאן מבואר שב' שטחים שוים, אם תשים ב' צלעות משטח א' בקצוות וב' הצלעות משטח הב' באמצע^(י)

-- יהיו נערכין זה אל זה.

דרך משל: שב' השטחים כל אחד מחזיק 12 במקור: י"ב.

שני הצלעות משטח הא' - צלע ה-א' הוא 2 במקור: ב' והשני הוא 6 במקור ו',

ומשטח השני -- האחד הוא 3 במקור: ג' והשני הוא 4 ד'.

אם תשים אותם כנ"ל - יהיו נערכין כזה 2•3 | 4•6.

משוואות והשוואת ערכים

מ"ה - פתרון נעלם במשוואת שברים זהים בערכם

א. אם xb = cd אזי x = bcd
ב. ואם ax = cd אזי x = dac

אם האחד מד' מספרים הנערכים מתוך שני שברים זהים^(כ) הוא נעלם:

• אם א' מהקצוות הוא נעלם - תכפול שני מספרים האמצעים מכנה השבר הראשון במונה השבר השני ותחלק על הקצה הידוע.
• ואם אחד מהאמצעים הוא נעלם - תכפול שני הקצוות יחד ותחלוק על מספר האמצעי הידוע.

מ"ו - שמירת צידי המשוואה בחיבור וכפל שני הצדדים

אם תקח מספר שוה תפחית כמות זהה - משני מספרים שוים משני שברים שערכם שווה, או משני צידי המשוואה הזהה,

או תוסיף עליהם מספר שוה,

או תכפלם במספר שוה,

או תחלקם במספר שוה^(ל) - הנשארים תוצאות החישוב משני צידי המשוואה - גם כן שוים.

וכן: אם הנשארים שוין התוצאות זהות לאחר חיבור או כפל זהים בשני צידי משוואה, על כרחך גם מספרים הראשונים צידי המשוואה במקור לפני ההכפלה או החיבור שוין.

מ"ז השוואת ערכים

שני דברים השוין לדבר אחד

- על כרחך הם בעצמם^(מ) גם כן שוים זה לזה.

ביאור - ר' שמואל מלוקניק

(א) חצי:    כי אי אפשר לומר חצי אלא נגד מספר אחר שהוא שלם וכן שליש או רביע.

(ב) ערך א' לג':    הוא ב' חמישיות וכן ב' לד' הוא גם כן ב' חמישיות.

(ג) על ארבע אופנים:    ר"ל שתציג כזה ^א4 • ^ב2 • ^ג10 • ^ד5 וכדמסיק אח"כ ויהיה נערך גם כן על ד' אופנים כנ"ל ערך א' שבכאן אל ב' נערך ג' לד', ערך ב' לא' כערך ד' לג', ערך א' לג' כערך ב' לד', ערך ג' לא' כערך ד' לב'.

(ד) שוין לשל זה:    ר"ל שבשני הערכין שני המספרים האמצעים הוא 4 • 3. תשים שני מספרים הנותרים ממספר א' בקצוות ושני המספרים הנשארים ממספר הב' באמצע כגון 2 • 1 12 • 6 או להפך 1 • 2 6 • 12, וזה שאמר "כמו שתרצה", ויהיו נערכין כנ"ל על ח' אופנים דהיינו ד' אופנים המבוארים מסימן ל"א עד סימן ל"ה, ועוד תכתוב אותם בסדר אחר כמבואר בסימן ל"ה ותהפוך אותם כנ"ל על ד' אופנים.

(ה) רק שתשים:    עיין לקמן סימן קפ"א ובסימן קפ"ג, עיין שם.

(ו) שני הקצוות:    דרך משל 4 • 2 • 6 • 3 ויהיו מספרים האמצעים 4 • 1 • 12 • 3 נערכים כנ"ל.

(ז) תחבר כנ"ל:    ר"ל תחבר 3 עם 4 ויהיה 7 ותגרע גם כן 3 מן 4 ויהיה 1 וכן תעשה בשני מספרים השניים יהיה 7 • 1 • 14 • 2 ונערכין כנ"ל.

(ח) אם תחלק וכו':    ר"ל תחלק מספר 3 על 4 חלקים יהיה 3/4 וכן מספר 6 על 8 חלקים יהיה שוה.

(ט) אם תכפול:    הרי נתבאר לך סגולות מספר הנערך בחבור וחיסור וחילוק וכפל מסימן ל"ז עד סימן מ"ד.

(י) שטחים שוים:    ר"ל בתשבורות שלהן כמ"ש לקמן סימן מ"ט וכדמסיים.

(כ) הוא נעלם:    דרך משל מספרים הנערכים הכתובים בסימן הקודם 2 • 3 • 4 • 6. אם מספר הראשון נעלם ואין אתה יודע מהו, תכפול 3 עם 4 ויצא 12. תחלקו על מספר 6 הידוע לך ויצא 2. וכן אם מספר 3 הוא נעלם -- תכפול 2 עם 6 ויצא 12. תחלקו עם 4 ויצא 3.

(ל) הנשארים:    קאי על "אם תקח וכו’". וכן בתוספת ובכפל וחלוק גם כן, היוצא אחר כך שוה.

(מ) בעצמם:    דרך משל קו א"ב וקו ג"ד [ציור] שוין לקו ה"ו, אם כן הן בעצמן גם כן שוין זה לזה.